Question

У полного квадрата трехзначного числа три последние цифры такие же , как и у самого трехзначного числа . Чему равна сумма всех таких чисел .

Answer 1

Ответ:

1001

Пошаговое объяснение:

Пусть А - это наше трехзначное число. По условию А²=1000В+А, где В - некоторое натуральное число. Отсюда А(А-1)=2³·5³·В. Поскольку целые числа А и А-1 соседние, они не могут оба делиться на 5, поэтому делаем вывод, что одно из них делится на 5³=125. Аналогичное утверждение справедливо про деление на 2, поэтому одно из них делится на 2³=8. Используя пока только делимость на 125, получаем такие возможности:

1) А=125; А-1=124;    2) A=126; A-1=125;

3) A=250; A-1=249; 4) A=251; A-1=250;

5) A=375; A-1=374;  6) A=376; A-1=375;

7) A=500; A-1=499;  8) A=501; A-1=500;

9) A=625; A-1=624; 10) A=626; A-1=625;

11) A=750; A-1=749; 12) A=751; A-1=750;

13) A=875; A-1=874; 14) A=876; A-1=875

Но условию делимости на 8 удовлетворяют только 6-й и 9-й случаи:

А=376=8·47 и А-1=624=8·78.

Итак, А=376 и А=625. Проверим себя:

А=376⇒А²=141376; А=625⇒А²=390625.

Сумма найденных чисел равна 376+625=1001.