Question

Пожалуйста, только хорошо знающие.
Тригонометрию получил - x=(-1)^k*П/6+ПК, а логарифмы x>1 или (1;+ бесконечности).

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \sqrt{20}\cdot sinx=\sqrt{9sinx+cos2x}\\\\ODZ:9sinx\underbrace{+cos2x}_{1-2sin^2x}\geq 0\ \ ,\ \ 2sin^2x-9sinx-1\leq 0\ \ \Rightarrow \\\\2\, \Big(sinx-\dfrac{9-\sqrt{89}}{4}\Big)\Big(sinx-\dfrac{9+\sqrt{89}}{4}\Big)\leq 0\ ,\\\\\dfrac{9-\sqrt{89}}{4}\leq sinx\leq \dfrac{9+\sqrt{89}}{4}\ \ ,\ \ \ \dfrac{9-\sqrt{89}}{4}\approx -0,11\ \ ,\ \ \dfrac{9+\sqrt{89}}{4}\approx 4,61$    

Но  $-1\leq sinx\leq 1\ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{9-\sqrt{89}}{4}\leq sinx\leq 1$

Возведём обе части равенства в квадрат .

$20sin^2x=9sinx+cos\, 2x\ \ ,\ \ \ 20sin^2x=9sinx+1-2sin^2x\\\\22sin^2x-9sinx-1=0\ \ ,\ \ D=9^2+4\cdot 22=169\ \ ,\\\\(sinx)_1=-\dfrac{1}{11}\approx -0,09\in [-0,11\ ;\ 1\ ]\ \ ,\ \ (sinx)_2=\dfrac{1}{2}=0,5\\\\x_1=(-1)^{n}arcsin(-\dfrac{1}{11})+\pi n=(-1)^{n+1}arcsin\dfrac{1}{11}+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\x_2=(-1)^{k}\cdot \dfrac{\pi}{6}+\pi k\ \ ,\ k\inZ$

$Otvet:\ \ x_1=(-1)^{n+1}arcsin\dfrac{1}{11}+\pi n\ ,\ x_2=(-1)^{k}\cdot \dfrac{\pi}{6}+\pi k\ ,\ n,k\in Z\ .$    

$2)\ \ (2-2x)\cdot log__{2\cdot 3^{x}-5}}\ \sqrt3\leq 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (1-x)log__{2\cdot 3^{x}-5}}\ 3\leq 1\ \ ,\\\\log__{2\cdot 3^{x}-5}}\ 3^{1-x}\leq 1\ \ \ \Rightarrow \\\\a)\ \ \left\{\begin{array}{l}2\cdot 3^{x}-5 > 1\\3^{1-x}\leq 2\cdot 3^{x}-5\end{array}\right\ \ \ \ \ ili\ \ \ \ \ \ b)\ \ \left\{\begin{array}{l}0 < 2\cdot 3^{x}-5 < 1\\3^{1-x}\geq 2\cdot 3^{x}-5\end{array}\right\\\\\\a)\ \ 2\cdot 3^{x}-5 > 1\ \ ,\ \ 2\cdot 3^{x} > 6\ \ ,\ \ 3^{x} > 3\ \ ,\ \ \underline{x > 1}\ \ ;$

$3^{1-x}\leq 2\cdot 3^{x}-5\ \ ,\ \ 2\cdot 3^{x}-\dfrac{3}{3^{x}}-5\geq 0\ \ ,\\\\t=3^{x}\ ,\ \ \underline{t > 0}\ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{2t^2-5t-3}{t}\geq 0\ \ ,\ \ \ 2(t+\dfrac{1}{2})(t-3)\geq 0\ \ ,\\\\t\in (-\infty ;-\frac{1}{2}\ ]\cup [\ 3\, ;+\infty )$

Учитывая, что t>0 , получим    $t\in [\ 3\, ;+\infty )\ \ \Rightarrow \ \ \ 3^{x}\geq 3\ \ ,\ \ \underline{x\geq 1}$   .

Пересечение решений обоих неравенств даст  $\underline{x > 1}$   .  

$b)\ \ \left\{\begin{array}{l}0 < 2\cdot 3^{x}-5 < 1\\3^{1-x}\geq 2\cdot 3^{x}-5\end{array}\right\\\\\\0 < 2\cdot 3^{x}-5 < 1\ \ ,\ \ 5 < 2\cdot 3^{x} < 6\ \ ,\ \ 2,5 < 3^{x} < 3\ \ ,\ \ \underline{log_3\, 2,5 < x < 1}\ \ ;\\\\3^{1-x}\geq 2\cdot 3^{x}-5\ \ ,\ \ 2\cdot 3^{x}-\dfrac{3}{3^{x}}-5\leq 0\ \ ,\\\\3^{x}=t > 0\ \ \to \ \ \dfrac{2t^2-5t-3}{t}\leq 0\ \ ,\ \ \ 2t^2-5t-3\leq 0\ \ ,\\\\2(t+\frac{1}{2})(t-3)\leq 0\ \ \to \ \ \ -\dfrac{1}{2}\leq t\leq 3\ \ ,\ \ 0 < t\leq 3\ \ \Rightarrow$

$0 < 3^{x}\leq 3\ \ ,\ \ \underline{x\leq 1}$  

Пересечением решений неравенств системы будет неравенство

$\underline{log_3\, 2,5 < x < 1}$   .

c)  Теперь надо записать объединение решений, полученных в пунктах а)  и  b) . Это множество и будет ответом .

$\underline{\ x\in (\ log_3\, 2,5\ ;\ 1\ )\cup (\ 1\ ;+\infty \, )\ }$