Question

Помогите, пожалуйста!!!
Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
[y+|y|=8√x-1
| a(y-12) = x-9
из найденных значений а.
имеет два различных решения. Укажите эти решения при каждом

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Раз есть модуль в системе, от него нужно избавляться. Раскроем его, но при этом будем иметь в виду ограничения, которые могут вноситься квадратным корнем в правой части.

Как и всегда, рассмотрим 2 случая: $y > 0$ и $y\leq 0$. Здесь мы объединили случаи $y=0$ и $y < 0$, поскольку, как будет видно ниже, система будет иметь один и тот же вид. Начнём со второго случая, так как он проще.

1) $y\leq 0$. Тогда $|y|=-y$. Первое уравнение имеет вид $8\sqrt{x-1} =0$, откуда $x=1$. Теперь из второго уравнения найдём y:

$a(y-12)=1-9=-8\\ y-12=-\frac{8}{a} \\ y=12-\frac{8}{a} =\frac{12a-8}{a}$

Здесь есть подвох - при нахождении этого решения мы делили на параметр a. А если он нулевой? Рассмотрим этот случай отдельно.

$a=0$. Тогда из второго уравнения получаем $x=9$. Но первое уравнение принимает вид при подстановке $8\sqrt{9-1} =0$, что не может разумеется выполняться. Таким образом, система не имеет решения при $a=0$ в случае $y\leq 0$.

Кроме того, раз $y\leq 0$, то и $\frac{12a-8}{a} \leq 0$. Решая неравенство методом интервалов, получаем, что $0 < a\leq \frac{2}{3}$

Что мы имеем? При $0 < a\leq \frac{2}{3}$  мы нашли ровно одно решение вида $(1;\frac{12a-8}{a} )$. А вот случай a=0 у нас в дальнейшем на особом контроле.

2)Теперь пусть $y > 0$, тогда $|y|=y$, и первое уравнение имеет вид $2y=8\sqrt{x-1}$. Сокращая, $y=4\sqrt{x-1}$.

Рассмотрим все возможные возникающие здесь ситуации.

 а) $a=0$. Здесь мы не нашли ни одного нормального решения, поэтому уместно сразу учесть либо отбросить это значение параметра. Подставляем его во второе уравнение системы: $0=x-9,x=9$, из первого уравнения можно найти единственный y. Но это означает лишь единственное решение системы, а по условию требуется 2 решения. Поэтому $a=0$ в конечный ответ задачи не войдёт.

б) Хотелось бы понять, что за решения будут при $0 < a\leq \frac{2}{3}$. И сколько их. Для этого первое уравнение $y=4\sqrt{x-1}$ возводим в квадрат и выражаем x, подставляя его во второе уравнение

$y^{2} =16(x-1)\\ x-1=\frac{y^{2} }{16}\\ x=\frac{y^{2} +16}{16}$      

$a(y-12)=\frac{y^{2} +16}{16} -9=\frac{y^{2} +16-144}{16}=\frac{y^{2} -2^{7} }{2^{4} }\\ 2^{4} a(y-12)=y^{2} -2^{7}\\ y^{2} -2^{4} ay+2^{4}* 12a-2^{7} =0\\ y^{2} -2^{4} ay+2^{4}(3*2^{2}a- 2^{7})=0\\ y^{2} -2^{4} ay+2^{6}(3a- 2^{5})=0$