Question

Помогите пожалуйста, Укажите наименьшее значение выражения 4 x − 8 y + 2 x2 + 4 y2

Answer 1

Ответ:  наименьшее значение равно  -6 .

Выделим в выражении полные квадраты .

$4x-8y+2x^2+4y^2=2\cdot (x^2+2x)+4\cdot (y^2-2y)=\\\\\\=2\cdot \Big(\, (x+1)^2-1\Big)+4\cdot \Big(\, (y-1)^2-1\Big)=\underbrace{2(x+1)^2}_{\geq 0}+\underbrace{4(y-1)^2}_{\geq 0}-6$  

Получили сумму трёх членов . Первое и второе слагаемые принимают наименьшие значения , равные 0, так как  $(a\pm b)^2\geq 0$  .

Третье слагаемое - отрицательное число  -6 .

Поэтому самое меньшее значение равно   $0+0-6=-6$ .