Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{3} {\frac{1}{ x^{2} - x - 2 } } \, dx = \frac{2}{3} \ln 2 }}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\int {\frac{dx}{x^{2} - a^{2}} } = \frac{1}{2a} \ln \bigg| \frac{x - a}{x + a} \bigg| + C }$

По свойствам интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{3} {\frac{1}{ x^{2} - x - 2 } } \, dx$- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл  $\displaystyle \int {\frac{1}{ x^{2} - x - 2 } } \, dx$.

$\displaystyle \int {\frac{1}{ x^{2} - x - 2 } } \, dx = \int {\frac{1}{ x^{2} - x + 0,25 - 0,25 - 2 } } \, dx = \int {\frac{d(x - 0,5)}{ (x - 0,5)^{2} - 2,25 } } =$

$\displaystyle = \int {\frac{d(x - 0,5)}{ (x - 0,5)^{2} - 1,5^{2} } } = \frac{1}{2 \cdot 1,5 } \ln \Bigg| \frac{x - 0,5 - 1,5}{x - 0,5 + 1,5} \Bigg| + C= \frac{1}{3} \ln \Bigg| \frac{x -2}{x + 1} \Bigg| + C$

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{3} {\frac{1}{ x^{2} - x - 2 } } \, dx = \Bigg( \frac{1}{3} \ln \Bigg| \frac{x -2}{x + 1} \Bigg| \Bigg) \Bigg|^{+\infty}_{3} =$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \Bigg( \frac{1}{3} \ln \Bigg| \frac{x -2}{x + 1} \Bigg| \Bigg) - \Bigg( \frac{1}{3} \ln \Bigg| \frac{3 -2}{3 + 1} \Bigg| \Bigg) = 0 -\frac{1}{3} \ln \Bigg| \frac{1}{4} \Bigg| = -\frac{1}{3} \ln ( 2 )^{-2} = \frac{2}{3} \ln2$.

Рассмотри детальнее нахождение предела:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \Bigg( \frac{1}{3} \ln \Bigg| \frac{x - 2}{x + 1} \Bigg| \Bigg) = \frac{1}{3} \lim_{x \to \infty} \ln \Bigg| \frac{x - 2}{x + 1} \Bigg| = \frac{1}{3} \lim_{x \to \infty} \ln \Bigg| \frac{x - 2 + 1 -1}{x + 1} \Bigg| =$

$\displaystyle = \frac{1}{3} \lim_{x \to \infty} \ln \Bigg| \frac{x + 1 - 3}{x +1} \Bigg| = \frac{1}{3} \lim_{x \to \infty} \ln \Bigg| \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{ 3}{x + 1} \Bigg| = \frac{1}{3} \lim_{x \to \infty} \ln \Bigg| 1- \frac{ 3}{x + 1} \Bigg| =$

$= \dfrac{1}{3} \cdot 0 = 0$.