Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{In(2)^{2} }$

Пошаговое объяснение:

Чтобы вычислить несобственный интеграл по определению, записываем его через предел и определенный интеграл —

$\int\limits^{+\infty}_0 {x2^{-x} } \, dx$

$\lim_{a \to +\infty}(\int\limits^a_0 {x2^{-x} } \, dx )$

Вычисляем определенный интеграл —

1. Чтобы вычислить определенный интеграл, вначале нужно найти неопределенный — $\int\limits {x2^{-x} } \, dx$
2. Вычисляем интеграл методом интегрирования по частям — $x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} } )-\int\limits {-\frac{1}{In(2)\times2^{x} } } \, dx$
3. Используем свойство интегралов ∫ a × f (x) dx = a × ∫ f (x) dx, a ∈ ℝ — $x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} } )-1\times (-\frac{1}{In(2)})\times \int\limits {\frac{1}{2^{x} } } \, dx$
4. Упрощаем выражение — $x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} }) + \frac{1}{In(2)}\times \int\limits {\frac{1}{2^{x} } } \, dx$
5. Число 1 в любой степени равно 1 — $x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} }) + \frac{1}{In(2)}\times \int\limits {\frac{1^{x} }{2^{x} } } \, dx$
6. Когда числитель и знаменатель дроби возводятся в одну и ту же степень, дробь возводится в эту же степень — $x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} }) + \frac{1}{In(2)}\times \int\limits {(\frac{1}{2 } )^{x} } \, dx$
7. Используя $\int\limits {a^{x} } \, dx =\frac{a^{x} }{In(a)}$ находим интеграл — $x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} }) + \frac{1}{In(2)}\times\frac{(\frac{1}{2})^{x} }{In(\frac{1}{2} )}$
8. Упрощаем выражение — $-\frac{x}{In(2)\times2^{x} } -\frac{1}{In(2)^{2}\times2^{x} }$
9. Вычисляем выражение — $-\frac{a}{In(2)\times 2^{a} } -\frac{1}{In(2)^{2}\times 2^{a} } -(-\frac{0}{In(2)\times 2^{0}}-\frac{1}{In(2)^{2} \times2^{0} } )$
10. Упрощаем выражение — $-\frac{a}{In(2)\times2^{a} } -\frac{1}{In(2)^{2}\times2^{a} } +\frac{1}{In(2)^{2} }$

Вычисляем предел —

1. Используя "$\lim_{x \to c}$ ((f (x) ± g (x))) = $\lim_{x \to c}$ (f (x)) ± $\lim_{x \to c}$ (g (x))", преобразовываем выражение — $\lim_{a \to +\infty}(-\frac{a}{In(2)\times2^{a} } -\frac{1}{In(2)^{2} \times 2^{a} } )+ \lim_{a \to +\infty}(\frac{1}{In(2)^{2} } )$
2. Используя "$\lim_{x \to c}$ ((f (x) ± g (x))) = $\lim_{x \to c}$ (f (x)) ± $\lim_{x \to c}$ (g (x))", преобразовываем выражение — $\lim_{a \to+ \infty} (-\frac{a}{In(2)\times2^{a} } )- \lim_{a \to +\infty}(\frac{1}{In(2)^{2}\times2^{a} } )+ \lim_{a \to+ \infty} (\frac{1}{In(2)^{2} } )$
3. Предел константы равен константе — $\lim_{a \to+ \infty} (-\frac{a}{In(2)\times2^{a} } )- \lim_{a \to +\infty}(\frac{1}{In(2)^{2}\times2^{a} } )+ \frac{1}{In(2)^{2} }$
4. Используя $\lim_{x \to c}(a \times f (x))=a \times \lim_{x \to c}(f(x))$, преобразовываем выражение — $-\frac{1}{In(2)} \times \lim_{a \to +\infty} (\frac{a}{2^{a} } )- \lim_{a \to +\infty}(\frac{1}{In(2)^{2}\times2^{a} } )+ \frac{1}{In(2)^{2} }$
5. Вычисляем предел — $-\frac{1}{In(2)} \times \lim_{a \to +\infty} (\frac{a}{2^{a} } )- 0+ \frac{1}{In(2)^{2} }$
6. Используя $\lim_{x \to +\infty}(\frac{x^{n} }{a^{x} } )=0, a > 1, n \in {\displaystyle \mathbb {N} }$, вычисляем предел — $-\frac{1}{In(2)} \times 0- 0+ \frac{1}{In(2)^{2} }$
7. Упрощаем выражение — $\frac{1}{In(2)^{2} }$

Следовательно, решение данного интеграла — $\frac{1}{In(2)^{2} }$

Answer 2

Ответ:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x \cdot2^{-x}} \, dx = \frac{1}{\ln^{2} 2}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x \cdot2^{-x}} \, dx$- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл  $\displaystyle \int {x \cdot2^{-x}} \, dx$.

$\displaystyle \int {x \cdot 2^{-x}} \, dx =$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

$u = x \Longrightarrow du = dx$

$\displaystyle dv = 2^{-x} \, dx \Longrightarrow v = \int {2^{-x} } \, dx = -\int {2^{-x} } \, d(-x) = -\frac{2^{-x}}{\ln 2}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = -\frac{x \cdot2^{-x}}{\ln 2} - \int {-\frac{2^{-x}}{\ln 2}} \, dx = -\frac{x \cdot2^{-x}}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2}\int {2^{-x}} \, dx =-\frac{x \cdot2^{-x}}{\ln 2} -\frac{2^{-x}}{\ln^{2} 2} +C =$

$\displaystyle=-\frac{2^{-x}}{\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) +C = -\frac{1}{2^{x}\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) +C$

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x \cdot2^{-x}} \, dx = \Bigg( -\frac{1}{2^{x}\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg) \Bigg |^{+\infty}_{0} =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \Bigg( -\frac{1}{2^{x}\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg) - \Bigg( -\frac{1}{2^{0}\ln 2} \bigg(0 + \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg) =$

$\displaystyle = \Bigg( \frac{1}{1 \cdot\ln 2} \bigg( \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg) - \lim_{x \to \infty} \Bigg( \frac{1}{2^{x}\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg)= \frac{1}{\ln^{2} 2} - 0 = \frac{1}{\ln^{2} 2}$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \Bigg( \frac{1}{2^{x}\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg)= \lim_{x \to \infty} \bigg( \frac{x}{2^{x}\ln 2} + \frac{1}{2^{x}\ln^{2} 2} \bigg) =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \bigg( \frac{x \ln 2 + 1}{2^{x}\ln^{2} 2} \bigg) = \bigg [ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = \lim_{x \to \infty} \frac{(x \ln 2 + 1)'}{(2^{x}\ln^{2} 2)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \ln 2 }{2^{x}\ln^{2} 2 \cdot \dfrac{1}{\ln 2} } =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x}} = 0$