Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

111111111111111111111111111

Answer 2

Ответ:

$\boldsymbol{ \boxed { \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {\frac{x}{x^{4} + 4} } \, dx = \frac{\pi}{8} } }$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\int {\frac{dx}{x^{2} + a^{2}} } = \frac{1}{a} \ \text{arctg} \ \frac{x}{a} + C }$

По свойствам интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {\frac{x}{x^{4} + 4} } \, dx$- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл  $\displaystyle \int {\frac{x}{x^{4} + 4} } \, dx$.

$\displaystyle \int {\frac{x}{x^{4} + 4} } \, dx = \int {\frac{d(x^{2})}{2(x^{4} + 4)} } = \frac{1}{2} \int {\frac{d(x^{2})}{(x^{2})^{2} + 2^{2}} } =$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Замена: $x^{2} = t$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \frac{1}{2} \int {\frac{dt}{t^{2} + 2^{2}} } = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \ \text{arctg} \bigg(\frac{t}{2} \bigg) + C = \frac{1}{4} \ \text{arctg} \bigg(\frac{x^{2} }{2} \bigg) + C$

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {\frac{x}{x^{4} + 4} } \, dx = \bigg(\frac{1}{4} \ \text{arctg} \bigg(\frac{x^{2} }{2} \bigg) \bigg) \bigg|^{+\infty}_{0}= \lim_{x \to \infty} \bigg( \frac{1}{4} \ \text{arctg} \bigg(\frac{x^{2} }{2} \bigg) \bigg) - \bigg( \frac{1}{4} \ \text{arctg} \bigg(\frac{0^{2} }{2} \bigg) \bigg)=$

$\displaystyle \frac{1}{4}\lim_{x \to \infty} \bigg( \ \text{arctg} \bigg(\frac{x^{2} }{2} \bigg) \bigg) - \bigg( \frac{1}{4} \ \text{arctg} \bigg(\frac{0 }{2} \bigg) \bigg)= \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} - \bigg( \frac{1}{4} \cdot0 \bigg)=\frac{\pi}{8} - 0 = \frac{\pi}{8}$

Так как асимптота графика $y = \text{arctg} \ x$ при $x \to + \infty$ это $y = \dfrac{\pi}{2}$, то $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \bigg( \ \text{arctg} \bigg(\frac{x^{2} }{2} \bigg) \bigg)=\frac{\pi}{2}$.