Question

y=2x²+7x+1
Построить график функции и исследовать его.
Пожалуйста сделайте подробней.

Answer 1

$y=2x^2+7x+1$

1. Область определения

x є (-∞;+∞).

2. Четность функции

Функция не тригонометрическая - периодичность не находим.

$y(-x)=2(-x)^{2} +7(-x)^{2} +1=9x^2+1.\\y(-x)\neq y(x)\\y(-x)\neq -y(x)$

Функция ни четная, ни нечетная.

3. Точки пересечения с осями координат

Найдем точки пересечения с осью ординат Oy, поэтому приравниваем x к 0:

$y=2*0^2+7*0+1=1.$

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0; 1).

Найдем точки пересечения с осью абсцисс Ox, для этого приравниваем y к 0:

$0=2x^2+7x+1$

$D=b^2-4ac=7^2-4*2*1=49-8=41.\\x_{1} =\frac{-7-\sqrt{41} }{4} \\x_{2} =\frac{-7+\sqrt{41} }{4}$

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты:

($\frac{-7-\sqrt{41} }{4}$; 0), или ($\frac{-7+\sqrt{41} }{4}$;0).

4. Производная функции и критические точки

$y=(2x^2)'+(7x)'+(1)'=4x+7\\4x+7=0\\x=-\frac{7}{4} =-1,75.$

x = -1,75 - это критическая точка.

5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции

       _                                +                  

--------------------(-1,75)--------------------

      f'(x)<0               f'(x)>0    

     убывает           возрастает

В окрестности точки x = -7/4 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = -7/4 - точка локального минимума.  

$y(-\frac{7}{4} )=2*(-\frac{7}{4})^2+7(-\frac{7}{4})+1=-5,185.$

Значит, точка минимума: (-1,75;-5,185).

6. Поведение функции на концах промежутков области опред.

Поскольку у нас область определения x є (-∞;+∞), исследование невозможно.