Question

Найдите косинус угла С треугольника АВС, если А (2; 2; -4), В (2; -1; -1),
С (3; -1; -2)

Answer 1

Ответ:

$cos C =-\dfrac{\sqrt{7} }{14}$

Пошаговое объяснение:

Найти косинус угла С треугольника АВС, если

А( 2; 2; -4), В( 2; -1; -1), С ( 3; -1; -2)

Угол С - это угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

Найдем координаты векторов. Для этого надо от координат конца вектора отнять соответствующую координату начала вектора.

$\vec{CA}(-1;3;-2)$

$\vec{CB}(-1;0;1)$

Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведений одноименных координат.

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1\cdot(-1)+3\cdot 0+(-2)\cdot 1=1+0-2=-1$

Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=|\vec{CA}|\cdot| \vec{CB}|\cdot cos C$

Найдем длины векторов

$|\vec{CA}|=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2} +(-2)^{2} }=\sqrt{1+9+4} =\sqrt{14} \\|\vec{CB}|=\sqrt{(-1)^{2} +0^{2} +1^{2} } =\sqrt{1+0+1} =\sqrt{2}$

$cos C =\dfrac{\vec {CA}\cdot \vec {CB}}{|\vec {CA}|\cdot |\vec {CB}|} \\\\cos C =\dfrac{-1}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{2} } =-\dfrac{1}{\sqrt{28} } =-\dfrac{1}{2\sqrt{7} } =-\dfrac{\sqrt{7} }{14}$

#SPJ1