Question

Интеграл...............

Answer 1

Решение.

Подынтегральная функция разрывна на промежутке [0;5] , так как  

при  х=0  имеем  $\bf ln(0+1)=ln1=0$ , и знаменатель дроби

обращается в ноль , функция не определена при х=0 . Значит имеем

несобственный интеграл 2 рода .

$\displaystyle \bf \int\limits_0^5\, \frac{dx}{(x+1)\cdot ln^2(x+1)}=\int\limits _0^5\frac{1}{ln^2(x+1)}\cdot \frac{dx}{x+1}=\\\\\\=\Big[\ t=ln(x+1)\ ,\ dt=\frac{dx}{x+1}\ ,\ t(0)=0\ ,\ t(5)=ln6\ \Big]=\\\\\\=\int\limits_0^{ln6}\, \frac{1}{t^2}\cdot dt=\lim_{\varepsilon \to +0}\int\limits_{\varepsilon }^{ln6}\, \frac{1}{t^2}\cdot dt=\lim_{\varepsilon \to +0}\frac{t^{-1}}{-1}\, \Big|_{\varepsilon }^{ln6}=-\lim_{\varepsilon \to +0}\frac{1}{t}\, \Big|_{\varepsilon}^{ln6}=$

$\displaystyle \bf =-\lim_{\varepsilon \to +0}\Big(\frac{1}{ln6}-\frac{1}{\varepsilon }\Big)=-\Big[\ \frac{1}{ln6}-\infty \ \Big]=\infty$