Question

Решить методом исключения систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений​

Answer 1

Ответ:

$\left \{ {{x=e^{-2t}+2t-1} \atop {y=2e^{-2t}+te^{-2t}+t-1}} \right.$

Объяснение:

Выразим из второго уравнения x через y:         x=y'+2y⇒x'=y''+2y'   и подставим в первое уравнение:

y''+2y'=-2y'-4y+4t;  y''+4y'+4y=4t.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоячнными коэффициентами. Решим сначала соответствующее однородное уравнение с помощью характеристического уравнения:  

$\lambda^2+4\lambda+4=0;\ (\lambda+2)^2=0;\ \lambda_{1,\, 2}=-2; y_{oo}=C_1e^{-2t}+C_2te^{-2t}.$

Поскольку правая часть неоднородного уравнения является квазимногочленом, частное решение можно искать с помощью неопределенных коэффициентов:

                       $\tilde y=At+B;\ \tilde y'=A;\ \tilde y''=0.$

Подставив в уравнение, получаем$4A+4At+4B=4t;\ \left \{ {{4A=4} \atop {4A+4B=0}} \right. ;\ \left \{ {{A=1} \atop {B =-1}} \right.;\ \tilde y=t-1,$

откуда общее решение $y=y_{oo}+\tilde y=C _1e^{-2t}+C_2te^{-2t}+t-1.$

Отсюда

$x=y'+2y=-2C_1e^{-2t}+C_2e^{-2t}-2C_2te^{-2t}+1+2C_1e^{-2t}+2C_2te^{-2t}+2t-2;$

$x=C_2e^{-2t}+2t-1.$ Остается воспользоваться начальными условиями: $\left \{ {{C_2-1=0} \atop {C_1-1=1}} \right.;\ \left \{ {{C_1=2} \atop {C_2=1}} \right..$

Получаем $\left \{ {{x=e^{-2t}+2t-1} \atop {y=2e^{-2t}+te^{-2t}+t-1}} \right.$