Question

Будь ласка , допоможіть

Терміново

Даю максимум балів

Вища математика

завдання все на прикріпленому фото ​,

ще потрібно намалювати графіки інтегральної і диференціальної функції​

Answer 1

Ответ:

М[X] = 1;  D[X] = 0.2; М₀[X] = 1;  Ме[X]= 1

Пошаговое объяснение:

1)

$\displaystyle F(x) = \begin{cases} 0, \qquad \qquad \qquad x < 0\\ \displaystyle \frac{x^2(3-x)}{4} ,\qquad 0\leq x < 2\\1 , \qquad \qquad \qquad x < 0 \\\end{array}$

График функции распределения на рис 1.

2) Построим функцию плотности  распределения вероятностей

При 0 ≤ х < 2 перепишем функцию в виде

$\displaystyle \frac{x^2(3-x)}{4} =0.25x^2(3-x)=0.75x^2-0.25x^3$

Тогда функция плотности распределния вероятнстей имеет вид

$\displaystyle f(x) = F'(x) = \begin{cases} 0, \qquad \qquad \qquad \qquad x < 0\\ \displaystyle 1,5x-0,75x^2,\qquad 0\leq x < 2\\0 , \qquad \qquad \qquad \qquad x < 0 \\\end{array}$

Производные брались так

$\displaystyle (0)'=0;\\\\ (0.75x^2-0.25x^3)'=2*0,75x-0.25*3x^2=1.5x-0,75x^2;\\\\(1)'=0;$

График функции на рис 2

3) Теперь ищем математическое ожидание М(Х)

$\displaystyle M[X]\int\limits^{+\infty}_{-\infty} {\bigg(x*f(x)\bigg)} \, dx =\\\\\\=\int\limits^{0}_{-\infty} {\bigg(x*0\bigg)} \, dx+\int\limits^{2}_{0} {\bigg(x*(1.5x-0.75x^2)\bigg)} \, dx+\int\limits^{+\infty}_{2} {\bigg(x*0\bigg)} \, dx=\\\\\\=\int\limits^{2}_{0} {\bigg(1.5x^2-0.75x^3\bigg)} \, dx=1,5\frac{x^3}{3} \bigg|_0^2-0.75\frac{x^4}{4} \bigg|_0^2=4-3=1$

Дисперсия аналогично М[X] превратится в интергал от 0 до 2

$\displaystyle D[X]=\int\limits^{+\infty}_{-\infty} \, \bigg (x^2*f(x)dx -M^2[X]\bigg)dx=\int\limits^2_0 {\bigg(x^2*(1.5x-0.75x^2)-1\bigg)} \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^2_0 {\bigg(1.5x^3-0.75x^4-1\bigg)} \, dx =\bigg(1.5*\frac{x^4}{4} -0.75*\frac{x^5}{5} -x\bigg)\bigg|_0^2=6-4,8-1=0,2$

Мода M₀[X] это  то возможное значение X, при котором плотность распределения имеет максимум.

f(x) = 1.5x - 0.75x²

первая производная

f'(x) = 1.5 -1.5x

приравняем к нулю

1,5 - 1,5х = 0   ⇒  х₀ = 1

значения функции в точке х₀ = 1 и  на концах интервала

f(1) = 0.75

f(0) = 0

f(2) = 0

Поскольку максимум функции достигается при х₀ = 1, то и мода равна 1.

М₀[X] = 1

Медианa Me[X] это то возможное значение X, при котором ордината f(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Необходимо найти такое x, при котором функция распределения равна 0.5.

F(1) = 0.75*1² - 0.25*1³ = 0,5

Ме[X]= 1