Question

Помогите пожалуйста задание на фото

Answer 1

Ответ:

KN² = 12

Объяснение:

• Если одна боковая грань пирамиды перпендикулярна основанию, то высота лежит в этой грани.

КН - высота пирамиды, лежит в грани MKF.

В треугольнике MNF проведем НА⊥FN и НВ⊥MN.

НА и НВ - проекции наклонных КА и КВ на плоскость основания, значит КА⊥FN и КВ⊥MN по теореме о трех перпендикулярах.

Тогда ∠КАН = ∠КВН = 45° - линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и плоскостью основания.

ΔКНА = ΔКНВ по катету и противолежащему острому углу:

• ∠КНА = ∠КНВ = 90°, так как КН высота;
• КН - общий катет;
• ∠КАН = ∠КВН = 45°.

Значит, НА = НВ.

В четырехугольнике HBNA три угла прямые, значит и четвертый прямой, смежные стороны равны, следовательно  HBNA - квадрат.

Обозначим его сторону х.

Для упрощения преобразований обозначим FN = a, тогда

MN = FN · ctg 30° = a√3

ΔFAH ~ ΔFNM по двум углам:

• ∠FAH = ∠FNM = 90°;
• ∠F - общий.

$\dfrac{FA}{FN}=\dfrac{HA}{MN}$

$\dfrac{a-x}{a}=\dfrac{x}{a\sqrt{3}}$

ax = a√3(a - x)

Сократим на а ≠0:

x = √3(a - x)

x = a√3 - x√3

x + x√3 = a√3

x(1 + √3) = a√3

Так как а√3 = MN = 2(√3 + 1), то

x(1 + √3) = 2(√3 + 1)

x = 2

ΔКНА:  ∠КНА = 90°, ∠КАН = 45°,  ⇒  ∠АКН = 45°,

треугольник равнобедренный, КН = НА = х = 2.

HN = 2√2 как диагональ квадрата.

Из прямоугольного треугольника KHN по теореме Пифагора:

KN = √(KH² + HN²) = √(2² + (2√2)²) = √(4 + 8) = √12

KN² = 12