Question

Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння

Answer 1

Ответ:

$y=2-\sqrt{1-x^2}.$

Пошаговое объяснение:

$y'=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}};\ y=\int\dfrac{x\, dx}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx^2}{\sqrt{1-x^2}}=-\dfrac{1}{2}\int (1-x^2)^{-1/2}\, d(1-x^2);$

$y=-\dfrac{1}{2}\dfrac{(1-x^2)^{1/2}}{1/2}+C=-\sqrt{1-x^2}+C.$ Для нахождения С подставим в найденное общее решение начальные условия x=0; y=1:

$1=-\sqrt{1-0^2}+C;\ 1=-1+C;\ C=2\Rightarrow y=-\sqrt{1-x^2}+2.$