Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

2...........

Объяснение:

Answer 2

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x^{2} e^{-x}} \, dx = 2 }}$

Примечание:

Обобщенное интегрирование по частям:

$\boxed{\displaystyle \int {uv} \, dx = uv_{1} - u'v_{2} + u''v_{3} - \ldots +(-1)^{n- 1}u^{(n - 1)}v_{n} - (-1)^{n- 1} \int {u^{(n)}v_{n}} \, dx}$

Где:

$\displaystyle v_{1} = \int {v} \, dx , \ v_{2} = \int {v_{1}} \, dx \ , \ldots , \ v_{n} = \int {v_{n -1}} \, dx$

Правило Лопиталя:

Если $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty$ и функции $f(x), g(x)$ таковы, что дифференцируемы в окрестности точки $a$ и в окрестности этой точки $g'(x) \neq 0$ и существует предел $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x)}{g(x)}$, то существует $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{ f'(x)}{g'(x)}$

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x)}{g(x)} = \bigg [ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = \lim_{x \to a} \frac{ f'(x)}{g'(x)} } }$, при условии, что функции $f(x),g(x)$ соответствуют всем выше перечисленным условиям и соответствующие пределы существуют.

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x^{2} e^{-x}} \, dx$- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл $\displaystyle \int {x^{2} e^{-x}} \, dx$.

Воспользуемся обобщенной формулой интегрированием по частям:

$u = x^{2}$

$u' = (x^{2} )' = 2x$

$u'' = (u')' = (2x)' = 2$

$v = e^{-x}$

$\displaystyle v_{1} = \int {e^{-x}} \, dx = -\int {e^{-x}} \, d(-x) = -e^{-x}$

$\displaystyle v_{2} = \int {-e^{-x}} \, dx = \int {e^{-x}} \, d(-x) = e^{-x}$

$\displaystyle v_{3} = \int {e^{-x}} \, dx = -e^{-x}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \int {x^{2} e^{-x}} \, dx = -x^{2} e^{-x} - 2xe^{-x} -2e^{-x} + C = -e^{-x}(x^{2} + 2x + 2) + C$

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x^{2} e^{-x}} \, dx = \bigg( -e^{-x}(x^{2} + 2x + 2) \bigg) \Bigg|^{+\infty}_{0} =$

$\displaystyle= \bigg( \lim_{x \to +\infty}( -e^{-x}(x^{2} + 2x + 2)) \bigg) - \bigg( -e^{-0}(0^{2} + 2 \cdot 0 + 2) \bigg) =$

$\displaystyle= \bigg( -\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2} + 2x + 2}{e^{x}} \bigg) + \bigg( e^{0}(0 + 0 + 2) \bigg) = 2 - \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2} + 2x + 2}{e^{x}} =$

$\displaystyle = 2 - \bigg [ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = 2 - \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^{2} + 2x + 2)'}{(e^{x})'} = 2 - \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 2}{e^{x}} =2 - \bigg [ \frac{\infty}{\infty} \bigg] =$

$\displaystyle = 2 - \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x + 2)'}{(e^{x})'} =2 - \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^{x}} = 2 - 0 = 2$

Также существует второй способ вычисления данного интеграла.

По определению преобразование Лапласа:

$\boxed{ \displaystyle F(p) = \int\limits^{+\infty}_{0} {f(x)e^{-px}} \, dx }$

Где $f(x)$ - оригинал, а $F(p)$ - изображение

Для интеграла $\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x^{2} e^{-x}} \, dx$функция $f(x) = x^{2}$ является оригиналом, так как функция $f(x) = x^{2}$ соответствует определению функции-оригинала в данном случае.

Применяя преобразование Лапласа для функции $f(x)$ (согласно таблице) получим следующие:

$x^{2} \xrightarrow{ \ L \ } \dfrac{2}{p^{3}}$

То есть $F(p) = \dfrac{2}{p^{3}}$ и для интеграла $\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x^{2} e^{-x}} \, dx$$p = 1$, тогда:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x^{2} e^{-x}} \, dx = F(1) = \frac{2}{1^{3}} = \dfrac{2}{1} = 2$