Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{2/\pi} {\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx = 1}}$

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{2/\pi} {\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx$ - несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл $\displaystyle \int {\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx$.

$\displaystyle \int {\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx = -\int {-\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx =$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Замена: $\dfrac{1}{x} = t \Longrightarrow dt = \bigg(\dfrac{1}{x} \bigg)' \ dx = -\dfrac{1}{x^{2} } \ dx$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = -\int { \sin t } \, dt = \cos t + C = \cos\bigg(\frac{1}{x} \bigg) + C$

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{2/\pi} {\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx = \cos\bigg(\frac{1}{x} \bigg) \Bigg |^{+\infty}_{2/\pi} = \lim_{x \to \infty} \cos\bigg(\frac{1}{x} \bigg) - \cos\bigg( \dfrac{1}{2 / \pi } \bigg) =$

$= \cos 0 - \cos \dfrac{\pi}{2} = 1 - 0 =1$