Question

Решите пожалуйста эти 3 задачи, даю 40 баллов!

Answer 1

Ответ:

$3)\ \ y=6e^{-2x}-5x\ \ ,\ \ x_0=0$

Уравнение касательной   $y=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$  .

$y(0)=6e^0-0=6\\\\y'(x)=-2\cdot 6e^{-2x}-5=-12e^{-2x}-5\ \ ,\ \ y'(0)=-12\cdot e^0-5=-17\\\\y=6-17(x-0)\\\\\boxed{\ y=-17x+6\ }$  

$4)\ \ f(x)=4sin4x+\dfrac{1}{2}\, cos\dfrac{x}{2}\ \ ,\ \ A\Big(\dfrac{\pi }{3} \ ;-1\ \Big)$

Первообразная  $\displaystyle F(x)=\int f(x)\, dx$   .

$\displaystyle F(x)=\int \Big(4sin4x+\frac{1}{2}\, cos\, \frac{x}{2}\Big)dx=4\cdot \frac{1}{4}\cdot (-cos4x)+\frac{1}{2}\cdot 2\, sin\frac{x}{2}+C=\\\\\\=-cos4x+sin\frac{x}{2}+C$

Найдём значение С, при котором первообразная проходит через точку А .

$\displaystyle F(\dfrac{\pi}{3})=-1:\ \ -cos\Big(4\cdot \frac{\pi}{3}\Big)+sin\frac{\pi }{3\cdot 2}+C=-1\ \ ,\\\\\\-cos\frac{4\pi }{3}+sin\frac{\pi}{6}+C=-1\ \ ,\ \ -\Big(-\frac{1}{2}\Big)+\frac{1}{2}+C=-1\ \ ,\ \ C=-1-1=-2$

Первообразная, график которой проходит через точку А имеет вид:

  $F(x)\Big|_{A}=-cos4x+sin\frac{x}{2}-2$  .

5)  Выбираем и- 25-элементного множества все 3-хэлементные

подмножества   $C_{25}^3=\dfrac{25\cdot 24\cdot 23}{3!}=\dfrac{25\cdot 24\cdot 23}{2\cdot 3}=25\cdot 4\cdot 23=2300$  

Треугольников существует 2300 штук .