Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ (1;2;3)} }$

$\boxed{ \boldsymbol{(2;0;-2)}}$

Объяснение:

а)

$\left \{\begin{array}{l} 3x_{1} + x_{2} + x_{3} = 8 \\2x_{1} - x_{2} - 2x_{3} = -6\\ 3x_{1 } + x_{2} - x_{3} = 2\end{array} \right.$

Запишем систему в виде матричного уравнения:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}$

$A^{-1}\cdot|AX = B$

$A^{-1}AX = A^{-1}B$

$EX = A^{-1}B$

$X = A^{-1}B$ - при условии, что $\text{det} \ A \neq 0$.

Определитель матрицы $A:$

$\text{det}\ A = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}c_{1} - 3c_{2} = \begin{vmatrix} 3 - 3 \cdot 1 & 1 & 1 \\ 2- 3 \cdot(-1) & -1 & -2 \\ 3- 3 \cdot1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}=$

$= \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}c_{2} + c_{3} = \begin{vmatrix} 0 & 1 + 1& 1 \\ 5 & -1 + (-2) & -2 \\ 0 & 1 + (-1)& -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 2& 1 \\ 5 & -3 & -2 \\ 0 &0& -1 \end{vmatrix} =$

$= -1 \cdot (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = -(0 \cdot (-3) - 5 \cdot 2) = -(0 - 10) =10$

Алгебраические дополyения матрицы $A:$

$A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot (-2) = 1 + 2 = 3$

$A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=2 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 2 - 6 = -4$

$A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) = 2 + 3 = 5$

$A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) =-(-1 - 1) =2$

$A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) - 1 \cdot 3 = -3 - 3 = -6$

$A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(3 \cdot 1 - 3 \cdot 1) =-(3 - 3) = 0$

$A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1)=-(2 - 1)=-1$

$A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -(3 \cdot (-2) - 2 \cdot 1) = -(-6 - 2) =8$

$A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot(-1) - 2 \cdot 1 = -3 - 2= -5$

Союзная матрица $A^{*}:$

$A^{*} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}$

Обратная матрица $A^{-1}:$

$A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}$

$X = A^{-1}B = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} =$

$= \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 \cdot 8 + 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot 2 \\ -4 \cdot 8 + (-6) \cdot (-6) + 8 \cdot 2 \\ 5 \cdot 8 + 0 \cdot (-6) + (-5) \cdot 2 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix}24 - 12 -2 \\ -32 + 36 + 16 \\40 + 0 - 10 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{10} \begin{pmatrix}10 \\ 20 \\30 \end{pmatrix} =$

$=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}$

Таким образом:

$x_{1} = 1;x_{2} = 2;x_{3} = 3$

$(1;2;3)$

б)

$\left \{\begin{array}{l} x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 0 \\3x_{1} - x_{2} + 4x_{3} = -2 \\ 2x_{1} + 5x_{2} - x_{3} = 6 \end{array} \right.$

Решение пункта б) аналогично пункту а).

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & 5 & -1 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\text{det}\ A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & 5 & -1 \end{vmatrix}c_{2} - 2c_{1};c_{3} - c_{1} = \begin{vmatrix} 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 1 \\ 3 & -1- 2 \cdot 3 & 4 -3 \\ 2 & 5- 2 \cdot2 & -1-2 \end{vmatrix} =$

$= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & -7 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} -7 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -7 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}= (-7) \cdot (-3) - 1 \cdot 1 =$

$=21 - 1 =20$

Продолжение решения смотрите на фотографиях!!!

Answer 2

Ответ:

а) х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 3.

б) х₁ = 2; х₂ = 0; х₃ = -2.

Объяснение:

Решить системы уравнений матричным методом.

• Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении системы уравнений в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.
• Матричный вид записи: А × X = B, где А - матрица системы, Х - столбец неизвестных, В - столбец свободных членов.

а)

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases}3x_1+x_2+x_3=8 \\2x_1-x_2-2x_3 = -6 \\ 3x_1+x_2-x_3=2 \end{cases}\end{equation*}$

Запишем систему в виде матричного уравнения АХ = В, где

$AА=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;1 \\2\;-1\;-2 \\ 3\;\;\;\;\;1\;-1 \end{pmatrix}\end{equation*}$,     $X=\begin{equation*} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\end{equation*}$,      $B=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 8 \\-6 \\ 2 \end{pmatrix}\end{equation*}$.

Выразим Х:

Х = ВА⁻¹

Вычислим определитель матрицы А разложением по первой строке:

$\Delta{A=\begin{equation*} \begin{vmatrix} 3\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;1 \\2\;-1\;-2 \\ 3\;\;\;\;\;1\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=3(1+2)-1(-2+6)+1(2+3)=10$

ΔA не равно нулю, следовательно, эту систему можно решить методом обратной матрицы.

Вычислим алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы А:

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{equation*} \begin{vmatrix} -1\;-2 \\\;\;\;1\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=1+2=3\\\\\displaystyle A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;2\;-2 \\\;\;\;3\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=-(-2+6)=-4\\\\\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;2\;-1 \\\;\;\;3\;\;\;\;\;1 \end{vmatrix}\end{equation*}=2+3=5$

$\displaystyle A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;1\;\;\;\;\;1 \\\;\;\;1\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=-(-1-1)=2\\\\\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;3\;\;\;\;\;1 \\\;\;\;3\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=-3-3=-6\\\\\displaystyle A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;3\;\;\;\;\;1 \\\;\;\;3\;\;\;\;\;1 \end{vmatrix}\end{equation*}=-(3-3)=0$

$\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;1\;\;\;\;\;1 \\\;-1\;-2 \end{vmatrix}\end{equation*}=-2+1=-1\\\\\displaystyle A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;3\;\;\;\;\;1 \\\;\;\;2\;-2 \end{vmatrix}\end{equation*}=-(-6-2)=8\\\\\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;3\;\;\;\;\;1 \\\;\;\;2\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=-3-2=-5$

Запишем союзную матрицу А*, которая состоит из алгебраических дополнений матрицы А:

$A^*=\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;3\;-4\;\;\;\;\;5 \\\;\;\;2\;-6\;\;\;\;\;0 \\ -1\;\;\;\;\;8\;-5 \end{vmatrix}\end{equation*}$

Запишем обратную матрицу согласно формуле:

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\Delta{A}} \begin{equation*} \begin{pmatrix} A_{11}\;A_{21}\;A_{31} \\A_{12}\;A_{22}\;A_{32}} \\ A_{13}\;A_{23}\;A_{33} \end{pmatrix}\end{equation*}$

Умножим обратную матрицу на столбец свободных членов и получим решение системы:

$\displaystyle X=A^{-1} B=\frac{1}{10} \begin{equation*} \begin{pmatrix} \;\;\;3\;\;\;\;\;2\;-1 \\-4\;-6\;\;\;\;\;8 \\ \;\;\;5\;\;\;\;\;0\;-5\end{pmatrix}\end{equation*} \cdot\begin{equation*} \begin{pmatrix} \;8 \\-6 \\ \;2\end{pmatrix}\end{equation*}=$

$\displaystyle =\frac{1}{10} \begin{equation*} \begin{pmatrix} \;\;\;3\cdot8+2\cdot (-6)+(-1)\cdot 2 \\-4\cdot 8+(-6)\cdot (-6)+8\cdot 2 \\ 5\cdot 8+0\cdot (-6)+(-5)\cdot 2\end{pmatrix}\end{equation*}=$

$\displaystyle =\frac{1}{10} \begin{equation*} \begin{pmatrix} \;\;\;24\;-12\;-2 \\\;-32\;+36+16 \\ \;\;40\;-0\;-10\end{pmatrix}\end{equation*}\displaystyle =\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 3\end{pmatrix}\end{equation*}$

Получили: х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 3.

б) Решаем аналогично а).

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases}x_1+2x_2+x_3=0 \\3x_1-x_2+4x_3 = -2 \\ 2x_1+5x_2-x_3=6 \end{cases}\end{equation*}$

$AА=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;1 \\3\;-1\;\;\;\;\;4 \\ 2\;\;\;\;\;5\;-1 \end{pmatrix}\end{equation*}$,     $X=\begin{equation*} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\end{equation*}$,      $B=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 6 \end{pmatrix}\end{equation*}$.

Х = ВА⁻¹

Вычислим определитель матрицы А разложением по первой строке:

$\Delta{A=\begin{equation*} \begin{vmatrix} 1\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;1 \\3\;-1\;\;\;\;\;4 \\ 2\;\;\;\;\;5\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=1(1-20)-2(-3-8)+1(15+2)=20$

ΔA не равно нулю, следовательно, эту систему можно решить методом обратной матрицы.

Вычислим алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы А:

См. вложение 1 и 2.

Запишем союзную матрицу А*, которая состоит из алгебраических дополнений матрицы А:

$A^*=\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;-19\;\;\;\;\;11\;\;\;\;\;17 \\\;\;\;7\;\;\;\;-3\;\;\;-1 \\ \;\;\;9\;\;\;\;-1\;\;\;-7 \end{vmatrix}\end{equation*}$

Далее см. вложение 3.