Предмет: Алгебра, автор: Reideen

Задание приложено...

Приложения:

Ответы

Автор ответа: mathkot
1

Ответ:

\boxed{ \boldsymbol{ (1;2;3)} }

\boxed{ \boldsymbol{(2;0;-2)}}

Объяснение:

а)

\left \{\begin{array}{l} 3x_{1} + x_{2} + x_{3} = 8 \\2x_{1} - x_{2} - 2x_{3} = -6\\ 3x_{1 } + x_{2} - x_{3} = 2\end{array} \right.

Запишем систему в виде матричного уравнения:

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix}  x_{1} \\ x_{2}  \\ x_{3} \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix}  8 \\ -6  \\ 2 \end{pmatrix}

A^{-1}\cdot|AX = B

A^{-1}AX = A^{-1}B

EX = A^{-1}B

X = A^{-1}B - при условии, что \text{det} \ A \neq 0.

Определитель матрицы A:

\text{det}\ A = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}c_{1} - 3c_{2}  = \begin{vmatrix} 3 - 3 \cdot 1 & 1 & 1 \\ 2- 3 \cdot(-1)  & -1 & -2 \\ 3- 3 \cdot1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 5  & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}=

= \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 5  & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}c_{2} + c_{3} = \begin{vmatrix} 0 & 1 + 1& 1 \\ 5  & -1 + (-2) & -2 \\ 0 & 1 + (-1)& -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 2& 1 \\ 5  & -3 & -2 \\ 0 &0& -1 \end{vmatrix} =

= -1 \cdot  (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = -(0 \cdot (-3) - 5 \cdot 2) = -(0 - 10) =10

Алгебраические дополyения матрицы A:

A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot (-2) = 1 + 2 = 3

A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=2 \cdot 1 - 2 \cdot 3 =  2 - 6 = -4

A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) = 2 + 3 = 5

A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}  = -(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) =-(-1 - 1) =2

A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) - 1 \cdot 3 = -3 - 3 = -6

A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(3 \cdot 1 - 3 \cdot 1) =-(3 - 3) = 0

A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1)=-(2 - 1)=-1

A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -(3 \cdot (-2) - 2 \cdot 1) = -(-6 - 2) =8

A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot(-1) - 2 \cdot 1 = -3 - 2= -5

Союзная матрица A^{*}:

A^{*} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}

Обратная матрица A^{-1}:

A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}

X = A^{-1}B = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  8 \\ -6  \\ 2 \end{pmatrix} =

= \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 \cdot 8 + 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot 2 \\ -4 \cdot 8 + (-6) \cdot (-6) + 8 \cdot 2  \\ 5 \cdot 8 + 0 \cdot (-6) + (-5) \cdot 2 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix}24 - 12 -2 \\ -32 + 36 + 16  \\40 + 0 - 10 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{10} \begin{pmatrix}10 \\ 20  \\30 \end{pmatrix} =

=\begin{pmatrix}1 \\ 2  \\3 \end{pmatrix}

Таким образом:

x_{1} = 1;x_{2} = 2;x_{3} = 3

(1;2;3)

б)

\left \{\begin{array}{l} x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 0 \\3x_{1} - x_{2} + 4x_{3} = -2 \\ 2x_{1} + 5x_{2} - x_{3} = 6 \end{array} \right.

Решение пункта б) аналогично пункту а).

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & 5 & -1 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix}  x_{1} \\ x_{2}  \\ x_{3} \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix}  0 \\ -2  \\ 6 \end{pmatrix}

\text{det}\ A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & 5 & -1 \end{vmatrix}c_{2} - 2c_{1};c_{3} - c_{1} = \begin{vmatrix} 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 1 \\ 3 & -1- 2 \cdot 3 & 4 -3 \\ 2 & 5- 2 \cdot2 & -1-2 \end{vmatrix} =

= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & -7 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} -7 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -7 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}= (-7) \cdot (-3) - 1 \cdot 1 =

=21 - 1 =20

Продолжение решения смотрите на фотографиях!!!

Приложения:
Автор ответа: natalyabryukhova
2

Ответ:

а) х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 3.

б) х₁ = 2; х₂ = 0; х₃ = -2.

Объяснение:

Решить системы уравнений матричным методом.

  • Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении системы уравнений в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.
  • Матричный вид записи: А × X = B, где А - матрица системы, Х - столбец неизвестных, В - столбец свободных членов.

а)

\displaystyle        \begin{equation*} \begin{cases}3x_1+x_2+x_3=8     \\2x_1-x_2-2x_3 = -6   \\ 3x_1+x_2-x_3=2 \end{cases}\end{equation*}

Запишем систему в виде матричного уравнения АХ = В, где

AА=\begin{equation*} \begin{pmatrix}   3\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;1     \\2\;-1\;-2   \\  3\;\;\;\;\;1\;-1 \end{pmatrix}\end{equation*},     X=\begin{equation*} \begin{pmatrix}   x_1     \\x_2   \\  x_3 \end{pmatrix}\end{equation*},      B=\begin{equation*} \begin{pmatrix}   8     \\-6   \\  2 \end{pmatrix}\end{equation*}.

Выразим Х:

Х = ВА⁻¹

Вычислим определитель матрицы А разложением по первой строке:

\Delta{A=\begin{equation*} \begin{vmatrix}   3\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;1     \\2\;-1\;-2   \\  3\;\;\;\;\;1\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=3(1+2)-1(-2+6)+1(2+3)=10

ΔA не равно нулю, следовательно, эту систему можно решить методом обратной матрицы.

Вычислим алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы А:

\displaystyle        A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{equation*} \begin{vmatrix} -1\;-2    \\\;\;\;1\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=1+2=3\\\\\displaystyle        A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;2\;-2    \\\;\;\;3\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=-(-2+6)=-4\\\\\displaystyle        A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;2\;-1    \\\;\;\;3\;\;\;\;\;1 \end{vmatrix}\end{equation*}=2+3=5

\displaystyle        A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;1\;\;\;\;\;1    \\\;\;\;1\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=-(-1-1)=2\\\\\displaystyle        A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;3\;\;\;\;\;1    \\\;\;\;3\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=-3-3=-6\\\\\displaystyle        A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;3\;\;\;\;\;1    \\\;\;\;3\;\;\;\;\;1 \end{vmatrix}\end{equation*}=-(3-3)=0

\displaystyle        A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;1\;\;\;\;\;1    \\\;-1\;-2 \end{vmatrix}\end{equation*}=-2+1=-1\\\\\displaystyle        A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;3\;\;\;\;\;1    \\\;\;\;2\;-2 \end{vmatrix}\end{equation*}=-(-6-2)=8\\\\\displaystyle        A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{equation*} \begin{vmatrix} \;\;\;3\;\;\;\;\;1    \\\;\;\;2\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=-3-2=-5

Запишем союзную матрицу А*, которая состоит из алгебраических дополнений матрицы А:

A^*=\begin{equation*} \begin{vmatrix}   \;\;\;3\;-4\;\;\;\;\;5     \\\;\;\;2\;-6\;\;\;\;\;0   \\  -1\;\;\;\;\;8\;-5 \end{vmatrix}\end{equation*}

Запишем обратную матрицу согласно формуле:

\displaystyle        A^{-1}=\frac{1}{\Delta{A}} \begin{equation*} \begin{pmatrix}   A_{11}\;A_{21}\;A_{31}     \\A_{12}\;A_{22}\;A_{32}}   \\  A_{13}\;A_{23}\;A_{33} \end{pmatrix}\end{equation*}

Умножим обратную матрицу на столбец свободных членов и получим решение системы:

\displaystyle    X=A^{-1}    B=\frac{1}{10} \begin{equation*} \begin{pmatrix}   \;\;\;3\;\;\;\;\;2\;-1     \\-4\;-6\;\;\;\;\;8   \\  \;\;\;5\;\;\;\;\;0\;-5\end{pmatrix}\end{equation*} \cdot\begin{equation*} \begin{pmatrix}  \;8    \\-6   \\  \;2\end{pmatrix}\end{equation*}=

\displaystyle        =\frac{1}{10} \begin{equation*} \begin{pmatrix}   \;\;\;3\cdot8+2\cdot (-6)+(-1)\cdot 2    \\-4\cdot 8+(-6)\cdot (-6)+8\cdot 2   \\  5\cdot 8+0\cdot (-6)+(-5)\cdot 2\end{pmatrix}\end{equation*}=

\displaystyle        =\frac{1}{10} \begin{equation*} \begin{pmatrix}   \;\;\;24\;-12\;-2    \\\;-32\;+36+16  \\  \;\;40\;-0\;-10\end{pmatrix}\end{equation*}\displaystyle        =\begin{equation*} \begin{pmatrix}  1    \\2   \\  3\end{pmatrix}\end{equation*}

Получили: х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 3.

б) Решаем аналогично а).

\displaystyle        \begin{equation*} \begin{cases}x_1+2x_2+x_3=0     \\3x_1-x_2+4x_3 = -2   \\ 2x_1+5x_2-x_3=6 \end{cases}\end{equation*}

AА=\begin{equation*} \begin{pmatrix}   1\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;1     \\3\;-1\;\;\;\;\;4   \\  2\;\;\;\;\;5\;-1 \end{pmatrix}\end{equation*},     X=\begin{equation*} \begin{pmatrix}   x_1     \\x_2   \\  x_3 \end{pmatrix}\end{equation*},      B=\begin{equation*} \begin{pmatrix}   0     \\-2   \\  6 \end{pmatrix}\end{equation*}.

Х = ВА⁻¹

Вычислим определитель матрицы А разложением по первой строке:

\Delta{A=\begin{equation*} \begin{vmatrix}   1\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;1     \\3\;-1\;\;\;\;\;4   \\  2\;\;\;\;\;5\;-1 \end{vmatrix}\end{equation*}=1(1-20)-2(-3-8)+1(15+2)=20

ΔA не равно нулю, следовательно, эту систему можно решить методом обратной матрицы.

Вычислим алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы А:

См. вложение 1 и 2.

Запишем союзную матрицу А*, которая состоит из алгебраических дополнений матрицы А:

A^*=\begin{equation*} \begin{vmatrix}   \;-19\;\;\;\;\;11\;\;\;\;\;17     \\\;\;\;7\;\;\;\;-3\;\;\;-1   \\  \;\;\;9\;\;\;\;-1\;\;\;-7 \end{vmatrix}\end{equation*}

Далее см. вложение 3.

Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык, автор: kde35
Предмет: Английский язык, автор: Аделина207