Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Нужно знать:

1) Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

2) Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минором большего порядка содержит в себе данный минор.

3) Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

а) Дана матрица

$\displaystyle \tt \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{array}\right] .$

Рассмотрим минор 1-порядка матрицы:

|a₁₁| = |3| ≠ 0 - ранг матрицы не меньше 1.

Рассмотрим окаймляющий минора |a₁₁| минор 2-порядка матрицы:

$\displaystyle \tt \left |\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 4 & -3 \end{array}\right| = 3 \cdot (-3) -(-1) \cdot 4=-9+4=-5\neq 0$

- ранг матрицы не меньше 2.

Рассмотрим окаймляющий минора 2-порядка матрицы - то есть саму матрицу. Вычислим определитель матрицы:

$\displaystyle \tt \left |\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{array}\right| = 3 \cdot (-3) \cdot 0+(-1) \cdot 3 \cdot 1+2 \cdot 4 \cdot 3-3 \cdot 3 \cdot 3-(-1) \cdot 4 \cdot 0-2 \cdot (-3) \cdot 1 =\\\\=0-3+24-27+0+6=30-30=0.$

Значит, ранг матрицы меньше чем 3. В итоге определяем, что ранг матрицы равен 2.

б) Дана матрица

$\displaystyle \tt \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right] .$

Рассмотрим минор 1-порядка матрицы:

|a₁₁| = |3| ≠ 0 - ранг матрицы не меньше 1.

Рассмотрим окаймляющий минора |a₁₁| минор 2-порядка матрицы:

$\displaystyle \tt \left |\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 4 & -3 \end{array}\right| = 3 \cdot (-3) -(-1) \cdot 4=-9+4=-5\neq 0$

- ранг матрицы не меньше 2.

Рассмотрим окаймляющий минора 2-порядка матрицы - то есть саму матрицу. Вычислим определитель матрицы:

$\displaystyle \tt \left |\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right| = 3 \cdot (-3) \cdot 2+(-1) \cdot 3 \cdot 1+2 \cdot 4 \cdot 3-3 \cdot 3 \cdot 3-(-1) \cdot 4 \cdot 2-2 \cdot (-3) \cdot 1 =\\\\=-18-3+24-27+8+6=38-48 = -10 \neq 0.$

Значит, ранг матрицы равен 3.

Answer 2

Ответ:

а) ранг равен 2

б) ранг равен 3

Примечание:

Минор порядка k - определитель элементы, которого расположены на пересечении k строк и k столбцов матрицы.

Окаймляющий минор - минор полученный добавлением к минору порядка k при добавлении 1 строки и 1 столбца при условии, что это возможно и включает в себя минор порядка k.

Ранг матрицы - наивысший порядок отличного от нуля минора.

Определитель матрицы не меняется при элементарном преобразовании матрицы.

$r_{n}$ - строка с номером n

$c_{n}$ - столбец с номером n

Объяснение:

а)

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

Так как матрицы содержит ненулевые элементы, то её ранг как минимум равен 1.

Выберем произвольный минор 2 порядка.

$M_{2} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = -3 \cdot 3 - 4\cdot (-1) = -9 + 4 =-5 \neq 0$

Так как $M_{2} \neq 0$, то ранг данный матрицы не меньше 2.

Посчитаем минор 3 порядка, который в данном случае является определителем матрицы.

$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} c_{2} -3c_{1} = \begin{vmatrix} 3 & -1 - 3 \cdot 3 & 2 \\ 4 & -3- 3 \cdot4 & 3 \\ 1 & 3- 3 \cdot1 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & -10 & 2 \\ 4 & -15 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} =$

$= 1 \cdot (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} -10 & 2 \\ -15 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -10 & 2 \\ -15 & 3 \end{vmatrix} = -10 \cdot 3 - 2 \cdot (-15) = -30 + 30 = 0$

Так как минор 3 порядка (который в данном случае является определителем матрицы) равен нулю, то ранг матрицы равен 2.

б)

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

Так как матрицы содержит ненулевые элементы, то её ранг как минимум равен 1.

Выберем произвольный минор 2 порядка.

$M_{2} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = -3 \cdot 3 - 4\cdot (-1) = -9 + 4 =-5 \neq 0$

Так как $M_{2} \neq 0$, то ранг данный матрицы не меньше 2.

Посчитаем минор 3 порядка, который в данном случае является определителем матрицы.

$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} c_{2} -3c_{1} = \begin{vmatrix} 3 & -1 - 3 \cdot 3 & 2 \\ 4 & -3- 3 \cdot4 & 3 \\ 1 & 3- 3 \cdot1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & -10 & 2 \\ 4 & -15 & 3 \\ 1 & 0 & 2\end{vmatrix}c_{3} - 2c_{1} =$

$= \begin{vmatrix} 3 & -10 & 2 - 2 \cdot 3 \\ 4 & -15 & 3 - 2 \cdot4 \\ 1 & 0 & 2 - 2 \cdot1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & -10 & -4 \\ 4 & -15 & -5 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} -10 & -4 \\ -15 & -5 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 10 & 4 \\ 15 & 5 \end{vmatrix} =$

$= 10 \cdot 5 - 15 \cdot 4 = 50 - 60 = -10$

Так как минор 3 порядка (который в данном случае является определителем матрицы) не равен нулю, то ранг матрицы равен 3.