Question

Знайти об'єм тіла обертання навколо осі Ох, що обмежено лініями 2у+х=0, у=1, у=2, х=0 . Допоможіть будь-ласка!!!

Answer 1

Объяснение:

$2y+x=0\ \ \ \ y=1\ \ \ \ y=2\ \ \ \ x=0\ \ \ \ V=?$

$y=-\frac{x}{2} .\\-\frac{x}{2}=2\ |*(-2)\\ x=-4.\\-\frac{x}{2}=1\ |*(-2)\\ x=-2.$

$V=\pi \int\limits^{-2}_{-4} {(2-(-\frac{x}{2}))^2 } \, dx +\pi \int\limits^0_{-2} {(2-1)^2} \, dx =\pi \int\limits^{-2}_{-4} {(\frac{4+x}{2})^2 } \, dx +\pi \int\limits^0_{-2} {(2-1)^2} \, dx=\\ =\frac{\pi }{4}\int\limits^{-2}_{-4} {(16+8x+x^2)} \, dx +\pi \int\limits^0_{-2} {1^2} \, dx =\frac{\pi }{4}*(16x+4x^2+\frac{x^3}{3})\ |_{-4}^{-2}+\pi x\ |_{-2}^0 =$

$=\frac{\pi }{4}*(16*(-2)+4*(-2)^2+\frac{(-2)^3}{3} -(16*(-4)+4*(-4)^2+\frac{(-4)^3}{3})+\\+\pi *0-\pi *(-2)=\frac{\pi }{4}*(-32+16-\frac{8}{3} -(-64+64-\frac{64}{3}))+2\pi =\\ = \frac{\pi }{4} *(-16-\frac{8}{3}+\frac{64}{3} )+2\pi =\frac{\pi }{4}*(-16+\frac{56}{3})+2\pi =\frac{\pi }{4}*(-16+18\frac{2}{3} )+2\pi =\\ =\frac{\pi }{4} *2\frac{2}{3} +2\pi =\frac{\pi }{4}*\frac{8}{3} +2\pi =\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{8}{3}\pi .$

Ответ: V≈8,3776 куб. ед.