Question

Помогите решить, пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

x + y = 1

Объяснение:

Решить систему показательных уравнений:

$\left\{ \begin{array}{ll}2^{2x+1}-2^x\cdot 3^{y+1}+9^y=3\\4^x+2^{x+1}\cdot 3^y+8\cdot 9^y=16\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}2\cdot2^{2x}-2^x\cdot 3^y\cdot 3+3^{2y}=3\\2^{2x}+2\cdot 2^x\cdot 3^y+8\cdot 3^{2y}=16\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}2^x=a\\3^y=b\end{array}$

a > 0, b > 0

$\left\{ \begin{array}{ll}2a^2-3ab+b^2=3\; \: \; \: |\cdot 16\\a^2+2ab+8b^2=16\; \: \; |\cdot (-3)\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}32a^2-48ab+16b^2=48\\-3a^2-6ab-24b^2=-48\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}29a^2-54ab-8b^2=0\; \: \; \: (1)\\a^2+2ab+8b^2=16\end{array}$

1. $29a^2-54ab-8b^2=0$   |: b² ≠0

$29\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-54\dfrac{a}{b}-8=0$

$\dfrac{a}{b}=t$

$29t^2-54t-8=0$

$\dfrac{D}{4}=\left(\dfrac{54}{2}\right)^2-29\cdot (-8)=27^2+29\cdot 8=729+232=961$

$t=\dfrac{\dfrac{54}{2}\pm \sqrt{961}}{29}=\dfrac{27\pm 31}{29}$

$t_1=2$

$t_2=-\dfrac{4}{29}$  не подходит, так как t > 0

$\dfrac{a}{b}=2$

$a=2b$

$\left\{ \begin{array}{ll}a=2b\\4b^2+4b^2+8b^2=16\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}a=2b\\16b^2=16\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}a=2b\\b^2=1\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}b=1\\a=2\end{array}$   или   $\left\{ \begin{array}{ll}b=-1\\a=-2\end{array}$ - не подходит.

$\left\{ \begin{array}{ll}3^y=1\\2^x=2\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}x=1\\y=0\end{array}$

x + y = 1 + 0 = 1