Question

Общее решение дифференциального уравнения y''+2y'+5y=4sinx+22cosx

Answer 1

$y''+2y'+5y=4\sin x+22\cos x$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного дифференциального уравнения.

1. Составим и решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''+2y'+5y=0$

Рассмотрим характеристическое уравнение:

$\lambda^2+2\lambda+5=0$

$D_1=1^2-1\cdot5=-4$

$\lambda=-1\pm2i$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$Y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$

2. Частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения ущем в виде:

$\overline{y}=A\sin x+B\cos x$

Тогда:

$\overline{y}'=A\cos x-B\sin x$

$\overline{y}''=-A\sin x-B\cos x$

Подставим соотношения в исходное уравнение:

$-A\sin x-B\cos x+2(A\cos x-B\sin x)+5(A\sin x+B\cos x)=4\sin x+22\cos x$

$-A\sin x-B\cos x+2A\cos x-2B\sin x+5A\sin x+5B\cos x=4\sin x+22\cos x$

$-A\sin x-2B\sin x+5A\sin x-B\cos x+2A\cos x+5B\cos x=4\sin x+22\cos x$

$(-A-2B+5A)\sin x+(-B+2A+5B)\cos x=4\sin x+22\cos x$

$(4A-2B)\sin x+(2A+4B)\cos x=4\sin x+22\cos x$

Получим систему:

$\begin{cases} 4A-2B=4 \\ 2A+4B=22 \end{cases}$

$\begin{cases} 2A-B=2 \\ A+2B=11 \end{cases}$

Выражаем В из первого уравнения:

$B=2A-2$

Подставляем во второе уравнение:

$A+2(2A-2)=11$

$A+4A-4=11$

$5A=15$

$A=3$

$B=2\cdot3-2=4$

Значит:

$\overline{y}=3\sin x+4\cos x$

3. Составляем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

$y=Y+\overline{y}$

$\boxed{y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)+3\sin x+4\cos x}$