Question

Общее решение дифференциального уравнения
y''-2y'+y=x^3

Answer 1

$y''-2y'+y=x^3$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного дифференциального уравнения.

1. Составим и решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''-2y'+y=0$

Рассмотрим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-2\lambda+1=0$

$(\lambda-1)^2=0$

$\lambda_1=\lambda_2=1$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$Y=C_1e^x+C_2xe^x$

2. Частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения ущем в виде:

$\overline{y}=Ax^3+Bx^2+Cx+D$

Тогда:

$\overline{y}'=3Ax^2+2Bx+C$

$\overline{y}''=3\cdot2Ax+2B=6Ax+2B$

Подставим соотношения в исходное уравнение:

$6Ax+2B-2(3Ax^2+2Bx+C)+Ax^3+Bx^2+Cx+D=x^3$

$6Ax+2B-6Ax^2-4Bx-2C+Ax^3+Bx^2+Cx+D=x^3$

$Ax^3+(Bx^2-6Ax^2)+(6Ax-4Bx+Cx)+(2B-2C+D)=x^3$

$Ax^3+(B-6A)x^2+(6A-4B+C)x+(2B-2C+D)=x^3$

Два многочлена равны, когда равны соответствующие коэффициенты при степенях. Получим систему:

$\begin{cases} A=1 \\ B-6A=0 \\ 6A-4B+C=0 \\ 2B-2C+D=0 \end{cases}$

Значение А найдено. Подставим его во второе уравнение:

$B-6\cdot1=0$

$B=6$

Подставим значения А и В в третье уравнение:

$6\cdot1-4\cdot6+C=0$

$6-24+C=0$

$C=18$

Подставим значения А, В и С в последнее уравнение:

$2\cdot6-2\cdot18+D=0$

$12-36+D=0$

$D=24$

Значит:

$\overline{y}=x^3+6x^2+18x+24$

3. Составляем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

$y=Y+\overline{y}$

$\boxed{y=C_1e^x+C_2xe^x+x^3+6x^2+18x+24}$