Стороны AB AB и ACAC треугольника ABCABC равны 17. Найди длину биссектрисы угла AA треугольника ABCABC, если медиана, проведённая к стороне BCBC равна 8.
Ответы
1. (Ю. Блинков) В треугольнике ABC высота AH проходит через
середину медианы BM. Докажите, что в треугольнике BMC также
одна из высот проходит через середину одной из медиан.
Решение. Пусть L — точка пересечения AH и BM, тогда CL —
A
B
C
H
K
M
L
Рис. 8–9.1
медиана треугольника BMC. Докажем, что высота MK этого треугольника делит CL пополам. Действительно, поскольку M — середина AC и MK k AH, то MK — средняя линия треугольника ACH,
а следовательно и треугольника ACL, что и требовалось.
Комментарий. Отметим, что BH = HK = KC.
2. (Ю. Блинков) Квадрат ABCD и равносторонний треугольник MKL расположены так, как
это показано на рисунке. Найдите угол PQD.
Ответ: 75◦
.
Решение. Докажем, что P — центр вневписанной окружности треA
B C
D L
K
M
P
Q
Рис. 8–9.2
угольника CKQ (см. рис. 8–9.2). Действительно, поскольку P лежит
на диагонали квадрата, то CP — биссектриса угла KCQ. Кроме того,
∠BKM = ∠KML = ∠MKL = 60◦
, откуда следует, что KP — биссектриса
угла BKQ (внешнего угла для треугольника CKQ).
Таким образом, P — центр вневписанной окружности треугольника
CKQ, то есть, QP — биссектриса угла KQD. Поскольку ∠KQC = 90◦ −
− ∠CKQ = 30◦
, то ∠PQD = ∠PQK =
150◦
2
= 75◦
.
3. (М. Васильев) В треугольнике ABC на сторонах AC, BC и AB отметили точки D, E и F
соответственно, так, что AD = AB, EC = DC, BF = BE. После этого стерли все, кроме точек E, F
и D. Восстановите треугольник ABC (исследование проводить не требуется).