Question

В коробке находятся 6 красных и 3 зеленых карандашей. Из нее случайно выпали 4 карандаша. Какова вероятность, что 2 из них окажутся зелеными?​

Answer 1

'Вероятность того, что два зеленых карандаша выпали на определенных местах из четырех возможных (например: зеленый карандаш по счету первый и второй, собственно, вероятности таких событий, какие-бы места зеленых карандашей мы не выбрали, будут равны):

$P_{1} = \frac{3}{9} * \frac{2}{8} *\frac{6}{7} *\frac{5}{6} = \frac{5}{3*4*7}$

То есть мы для удобства выбираем, что первый и второй карандаш по счету зеленый. Вероятность вытянуть первый карандашь зеленым равна $\frac{3}{9}$, поскольку всего $9$ карандашей, cреди которых $3$ зеленых. После второго изъятия остается $8$ карандашей, cреди которых $2$ зеленых, то есть вероятность вытянуть зеленый карандашь стала равна $\frac{2}{8}$, при третьем изъятии карандашь должен оказаться красным, а раз осталось $6$ красных и $1$ зеленый, то вероятность такого события $\frac{6}{7}$, аналогичные рассуждения с четвертым выпавшим карандашем. Для закрепления понимания данного принципа рекомендую самому найти вероятность вытянуть зеленый карандашь вторым и четвертым, вероятность получится той-же самой.

Поскольку количество вариантов выбрать два места для зеленых карандашей из четырех данных равно $C^{4}_{2} = \frac{4*3}{2} = 6$, то вероятность того, что два карандаша оказались зелеными равна:

$P = 6*P_{1} = \frac{6*5}{3*4*7} = \frac{5}{14} \approx0.36$

Тот же ответ можно было получить применяя только сочетания, без принципа умножения вероятностей:

$P = \frac{C^{2}_{3} * C^{2}_{6}}{C^{4}_{9}}\approx0.36$