Question

ДАЮ 55 БАЛЛОВ!!
Решите неравенство
Пожалуйста, дайте подробный ответ с решением.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\pi}4+2\pi n < x < \dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,~n\in\mathbb{Z}$

Объяснение:

Неравенство

$\sin x > \sqrt{2}\cos^2x$

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2x+\cos^2x=0$

$\sin x > \sqrt{2}(1-\sin^2x)\Big.\\\sin x > \sqrt{2}-\sqrt{2}\sin^2x$

Сделаем замену $t=\sin x$, учтем, что $-1\leq t\leq 1$

$\displaystyle t > \sqrt{2}-\sqrt2t^2\Big.\\\sqrt{2}t^2+t-\sqrt{2} > 0\Big.\\\big(\sqrt{2}t-1\big)\big(t+\sqrt{2}\big) > 0\\\Big(t-\dfrac{\sqrt2}2\Big)(t+\sqrt{2}) > 0\Big.\\\\\left [ {{t > \dfrac{\sqrt2}2} \atop {t < -\sqrt{2}}} \right.$

Учтем наши ограничения на $t$ и запишем окончательное неравенство

$\dfrac{\sqrt{2}}2 < t\leq 1\\\\\sin x > \dfrac{\sqrt{2}}2$

Отметим точки на окружности и запишем ответ. Учтем, что границы не берем (неравенство строгое).

$\dfrac{\pi}4+2\pi n < x < \dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,~n\in\mathbb{Z}$