Дослідіть функцію та побудуйте її графік у=х³-3х+2
Пожалуйста!!!!!! Дам за это все балы!!!!
Ответы
Дана функция у=х³-3х+2.
1) Область определения функции. Так как функция не имеет дроби или корня, то нет ограничения в области её определения.
D(y) = (−∞; +∞).
2) Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-x)^3-3*(-x)+2=-x^3+3x+2≠f(x)≠-f(x).
3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точки пересечения с осью ординат Oy, для чего приравниваем x = 0: у = 03 – 3*0 + 2 = 2.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0; 2).
Найдем точки пересечения с осью абсцисс Ox, для чего надо решить кубическое уравнение x3 – 3x + 2 = 0.
Проверим, нет ли корней этого уравнения среди множителей свободного члена: +-1 и +-2.
у=1³-3*1+2 = 0, имеем корень х = 1.
у=(-1)³-3*(-1)+2 = 4, нет корня.
у=2³-3*2+2 = 4, нет корня.
у=(-2)³-3*(-2)+2 = 0, имеем корень х = -2.
Таким образом, точки пересечения с осью Oх имеют координаты (1; 0) и (-2; 0).
4) Стационарные точки , интервалы возрастания и убывания функции , экстремумы функции
Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции: y’ = (x3 – 3x + 2)’ = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1).
Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых y′=0: 3(x2 – 1) = 0, x = ±1.
Получили две критических точки: х = -1 и х = 1.
Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:
x = -2 -1 0 1 2
y' = 9 0 -3 0 9
При x ∈ (−1; 1) производная y′ < 0, поэтому функция убывает на данном промежутке.
При x ∈ (-∞; -1) U (1; ∞) производная y′ > 0, функция возрастает на данных промежутках. При этом x = -1 - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает, x = 1 - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает.
Значение функции в этих точках: у(-1) = 4, у(1) = 0.
5) Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.
y^''=6x=0.
Это уравнение имеет решение при х = 0, поэтому у графика перегиб в точке (0; 2).
6) Дополнительные точки для построения графика функции y(x) = x3 − 3x + 2:
x y
-3.0 -16
-2.5 -6.1
-2.0 0
-1.5 3.1
-1.0 4
-0.5 3.4
0 2
0.5 0.6
1.0 0
1.5 0.9
2.0 4
2.5 10.1
3.0 20
6) По полученным данным строим график, и отметим характерные точки (пересечения с осями и экстремумы).
Вариант решения с хорошим форматированием приведен во вложении.
