Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = – х^2 – 4х, у = 4 + х.

Answer 1

Ответ:

y=-x^2-4x - графиком функции является парабола, ветви направлены вниз

m=-b/2a = 4/2 = -2

y=-(-2)^2+4*2=4

(-2;4) - координаты вершины параболы

y=4+x - прямая, проходящая через точки (0;4), (-4;0)

Знайдемо обмежені лінії

\begin{gathered}-x^2-4x=4+x\\ x^2+5x+4=0\end{gathered}

−x

2

−4x=4+x

x

2

+5x+4=0

За т. Вієта: x_1=-1;\,\,\,\, x_2=-4x

1

=−1;x

2

=−4

Знайдемо площу фігури

\begin{gathered}\displaystyle \int\limits^{-1}_{-4} {(-x^2-4x-(4+x))} \, dx = \int\limits^{-1}_{-4} {(-x^2-5x-4)} \, dx =\\ \\ \\ =\bigg(- \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2}-4x\bigg)\bigg|^{-1}_{-4}= \frac{1}{3} - \frac{5}{2} +4- \frac{4^3}{3} + \frac{5\cdot4^2}{2} -16=4.5\end{gathered}

−4

∫

−1

(−x

2

−4x−(4+x))dx=

−4

∫

−1

(−x

2

−5x−4)dx=