Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 12 см, а всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 45градусів . Знайти площу повної поверхні піраміди.
Ответы
Правильная пирамида
- в основании правильный многоугольник
- вершина проецируется в центр основания (O)
- боковые грани равные треугольники
- двугранные углы при основании равны
В сантиметрах
PO - высота пирамиды, PO=12
△AOP - прямоугольный с углом 45° - равнобедренный, AO=PO =12
AO - радиус описанной окружности основания
AC =2R sin60 =12√3 (по т синусов)
Sосн =1/2 AC^2 sin60 =(12√3)^2 √3/4 =108√3
Проекции боковых граней покрывают основание.
Проекция относится к исходной площади как косинус двугранного угла.
Sбок =Sосн/cosф
PH - апофема, AH - высота основания (т о трех перпендикулярах)
ф =∠PHO - двугранный угол при основании.
OH =AO/2 =6 (медианы точкой пересечения делятся 2:1)
OH/PO =6/12 =1/2 => OH/PH =1/√5 (т Пифагора) =cosф
Sполн =Sосн +Sбок =Sосн (1 +1/cosф) =108√3 (1+√5) ~605,34 (см^2)
