Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном $n$ необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при $n = 1$ (или для любого другого конкретного натруального $p$, тогда утверждение будет доказано от $p$ и до всех последюущих натуральных $n$ если удастся доказать индуктивный переход).

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для $n = k$ и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для $n = k + 1$

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных $n$методом математической индукции.

1.103

Воспользуемся методом математической индукции:

$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + n(n + 1)(n + 2) = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{4}$

База индукции:

$n = 1;$

$1 \cdot 2 \cdot 3 = 6= \dfrac{1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3)}{4} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = 2 \cdot 3 = 6$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + k(k + 1)(k + 2) = \dfrac{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4}}$

(пусть верно)

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + k(k + 1)(k + 2) +(k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 +2) =$

$= \dfrac{( k + 1)(k + 1+ 1)(k + 1 + 2)(k + 1 + 3)}{4}$

$\underbrace{ 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + k(k + 1)(k + 2)}_{ \dfrac{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4} } +(k + 1)(k + 2)(k + 3) =$

$= \dfrac{( k + 1)(k +2)(k + 3)(k + 4)}{4}$

$\dfrac{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4} + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = \dfrac{( k + 1)(k +2)(k + 3)(k + 4)}{4}$

(разделим обе части на положительное число $( k + 1)(k +2)(k + 3)$)

$\dfrac{k}{4} + 1 = \dfrac{(k + 4)}{4}$

$\dfrac{k}{4} + \dfrac{4}{4} = \dfrac{k + 4}{4}$

$\dfrac{k + 4}{4} = \dfrac{k + 4}{4}$

Так как правую и левую часть тождества

$\dfrac{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4} + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = \dfrac{( k + 1)(k +2)(k + 3)(k + 4)}{4}$

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению $\bigg ( \dfrac{k + 4}{4} = \dfrac{k + 4}{4} \bigg)$, тогда первоначально утверждение доказано методом математической индукции.

1.104

Воспользуемся методом математической индукции:

$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \ldots + \frac{2n - 3}{2^{n - 1}} + \frac{2n - 1}{2^{n}} = 3 - \frac{2n + 3}{2^{n}}$

База индукции:

$n = 1;$

$\displaystyle \frac{1}{2} = 3 - \frac{2 \cdot 1 + 3}{2^{1}} = 3 - \frac{2 + 3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{6 -5}{2} = \frac{1}{2}$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{ \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \ldots + \frac{2k - 3}{2^{k - 1}} + \frac{2k - 1}{2^{k}} = 3 - \frac{2k + 3}{2^{k}}}$ - пусть верно

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \ldots + \frac{2k - 3}{2^{k - 1}} + \frac{2k - 1}{2^{k}} + \frac{2(k + 1) - 1}{2^{k + 1}} = 3 - \frac{2(k + 1) + 3}{2^{k + 1}}$

$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \ldots + \frac{2k - 3}{2^{k - 1}} + \frac{2k - 1}{2^{k}} + \frac{2k + 2 - 1}{2^{k} \cdot 2^{1}} = 3 - \frac{2k + 2 + 3}{2^{k} \cdot 2^{1}}$

$\displaystyle \underbrace{ \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \ldots + \frac{2k - 3}{2^{k - 1}} + \frac{2k - 1}{2^{k}}}_{\bigg 3 \bigg - \dfrac{2k + 3}{2^{k}}}} + \frac{2k + 1}{2 \cdot 2^{k }} = 3 - \frac{2k + 5}{2 \cdot 2^{k}}$

$\displaystyle 3 - \frac{2k + 3}{2^{k}} + \frac{2k + 1}{2 \cdot 2^{k }} = 3 - \frac{2k + 5}{2 \cdot 2^{k}}$

$\displaystyle \frac{2k + 5}{2 \cdot 2^{k}} + \frac{2k + 1}{2 \cdot 2^{k }} = \frac{2k + 3}{2^{k}}$

$\displaystyle \frac{2k + 5 + 2k + 1}{2 \cdot 2^{k}} = \frac{2k + 3}{2^{k}}$

$\displaystyle \frac{4k + 6 }{2 \cdot 2^{k}} = \frac{2k + 3}{2^{k}}$

$\displaystyle \frac{2(2k + 3) }{2 \cdot 2^{k}} = \frac{2k + 3}{2^{k}}$

$\displaystyle \frac{2k + 3}{2^{k}} = \frac{2k + 3}{2^{k}}$

Так как правую и левую часть тождества

$\displaystyle 3 - \frac{2k + 3}{2^{k}} + \frac{2k + 1}{2 \cdot 2^{k }} = 3 - \frac{2k + 5}{2 \cdot 2^{k}}$

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению $\bigg ( \displaystyle \frac{2k + 3}{2^{k}} = \frac{2k + 3}{2^{k}}\bigg)$, тогда первоначально утверждение доказанометодом математической индукции.