Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном $n$ необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при $n = 1$ (или для любого другого конкретного натруального $p$, тогда утверждение будет доказано от $p$ и до всех последюущих натуральных $n$ если удастся доказать индуктивный переход).

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для  и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для $n = k + 1$

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных методом математической индукции.

30.26

$a_{1} = 1;a_{2} = 29$

$a_{n + 2} = 7a_{n + 1} - 10a_{n}$

Доказать: $a_{n} = 2^{n} + 5^{n}$

Воспользуемся методом математической индукции:

База индукции:

$n = 1;$

$a_{1} = 2^{1} + 5^{1} = 2 + 5 = 7$ - верно

$a_{2} = 2^{2} + 5^{2} = 4 + 25 = 29$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$a_{k} = 2^{k} + 5^{k}$

$n = k + 1;$

$a_{k + 1} = 2^{k + 1} + 5^{k + 1}$

-------------------------------

$a_{k + 2} = 7a_{k + 1} - 10a_{k} = 7(2^{k + 1} + 5^{k + 1}) - 10(2^{k} + 5^{k}) =$

$= 7(2^{k} \cdot 2^{1} + 5^{k} \cdot 5^{1}) - (10 \cdot 2^{k} + 10 \cdot 5^{k}) =$

$= 7(2 \cdot 2^{k} + 5 \cdot 5^{k} ) - 10 \cdot 2^{k} - 10 \cdot 5^{k} = 14 \cdot 2^{k} + 35 \cdot 5^{k} - 10 \cdot 2^{k} - 10 \cdot 5^{k}=$

$= 4 \cdot 2^{k} + 25 \cdot 5^{k} = 2^{2} \cdot 2^{k} + 5^{2} \cdot 5^{k} = 2^{k + 2} + 5^{k + 2}$.

Так с помощью математической индукции мы получили выражение вида $a_{n} = 2^{n} + 5^{n}$ (выражение$a_{k + 2} = 2^{k + 2} + 5^{k + 2}$, которое различается только показателем n), то методом математической индукции доказано, что рекурентная последовательность выражается формулой $a_{n} = 2^{n} + 5^{n}$.

30.27

$a_{1} = 4$

$a_{n + 1} = 2a_{n} - 3$

Доказать: $a_{n} = 2^{n - 1} + 3$

Воспользуемся методом математической индукции:

База индукции:

$n = 1;$

$a_{1} = 2^{1 - 1} + 3 = 2^{0} + 3 = 1 + 3 = 4$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$a_{k} = 2^{k - 1} + 3$

$n = k + 1;$

$a_{k + 1} = 2^{k + 1 - 1} + 3 = 2^{k} + 3$ - предположение

----------------------------------------

$a_{k + 1} = 2a_{k} - 3 = 2(2^{k - 1} + 3) - 3 =2 \cdot 2^{k - 1} + 2 \cdot 3 - 3 = 2^{k - 1 + 1} + 6 - 3 =$

$= 2^{k } + 3$

Так как предполодежение при индуктивном переходе путем равносильных преобразований оказалалось верным, то методом математической индукции доказано, что рекурентная последовательность выражается формулой $a_{n} = 2^{n - 1} + 3$.