Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Примечание:

Функцию $f$ является периодической если  $\exists \ T \neq 0$, что $\forall x \in D(f)$ верно $f(x - T) = f(x) = f(x + T)$ и число $T$ называют периодом функции $f$.

Объяснение:

$\boldsymbol{ a_{1} = 1,a_{2} = 2 }; a_{n + 2} = \dfrac{a_{n + 1}}{a_{n}}$

$n = 1;$

$a_{1 + 2} = \dfrac{a_{1 + 1}}{a_{1}}$

$\boxed{\boldsymbol{ a_{3}} = \dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \dfrac{2}{1} \boldsymbol{ = 2}}$

$n = 2;$

$a_{2 + 2} = \dfrac{a_{2 + 1}}{a_{2}}$

$\boxed {\boldsymbol{ a_{4}} = \dfrac{a_{3}}{a_{2}} = \dfrac{2}{2} =\boldsymbol{ 1}}$

$n = 3;$

$a_{3 + 2} = \dfrac{a_{3 + 1}}{a_{3}}$

$\boxed{ \boldsymbol{a_{5}} = \dfrac{a_{4}}{a_{3}} = \dfrac{1}{2} \boldsymbol{ = 0,5}}$

$n = 4;$

$a_{4 + 2} = \dfrac{a_{4 + 1}}{a_{4}}$

$\boxed{ \boldsymbol{a_{6}} = \dfrac{a_{5}}{a_{4}} = \dfrac{0,5}{1} \boldsymbol{ = 0,5}}$

$n = 5;$

$a_{5 + 2} = \dfrac{a_{5 + 1}}{a_{5}}$

$\boxed{ \boldsymbol{a_{7}} = \dfrac{a_{6}}{a_{5}} = \dfrac{0,5}{0,5} \boldsymbol{ = 1}}$

$n = 6;$

$a_{6 + 2} = \dfrac{a_{6+ 1}}{a_{6}}$

$\boxed{ \boldsymbol{a_{8}} = \dfrac{a_{7}}{a_{6}} = \dfrac{1}{0,5} \boldsymbol{ = 2}}$

$n = 7;$

$a_{7 + 2} = \dfrac{a_{7+ 1}}{a_{7}}$

$\boxed{ \boldsymbol{a_{9}} = \dfrac{a_{8}}{a_{7}} = \dfrac{2}{1} \boldsymbol{ = 2}}$

$n = 8;$

$a_{8 + 2} = \dfrac{a_{8+ 1}}{a_{8}}$

$\boxed{ \boldsymbol{a_{10}} = \dfrac{a_{9}}{a_{8}} = \dfrac{2}{2} \boldsymbol{ = 1}}$

$n = 9;$

$a_{9 + 2} = \dfrac{a_{9+ 1}}{a_{9}}$

$\boxed{ \boldsymbol{a_{11}} = \dfrac{a_{10}}{a_{9}} = \dfrac{1}{2} \boldsymbol{ = 0,5}}$

$n = 10;$

$a_{10 + 2} = \dfrac{a_{10+ 1}}{a_{10}}$

$\boxed{ \boldsymbol{a_{12}} = \dfrac{a_{11}}{a_{10}} = \dfrac{0,5}{1} \boldsymbol{ = 0,5}}$

$n = 11;$

$a_{11 + 2} = \dfrac{a_{11+ 1}}{a_{11}}$

$\boxed{ \boldsymbol{a_{13}} = \dfrac{a_{12}}{a_{11}} = \dfrac{0,5}{0,5} \boldsymbol{ = 1}}$

Введем функцию $f(n)$, такую, что $D(f(n)) = \mathbb N$ и следующими значениями:

$f(1) = 1$

$f(2) = 2$

$f(3) = 2$

$f(4) = 1$

$f(5) = 0,5$

$f(6) = 0,5$

$f(7) = 1$

$f(8) = 2$

$f(9) = 2$

$f(10) = 1$

$f(11) = 0,5$

$f(12) = 0,5$

$f(13) = 1$

Так как $f(1) = f(7) = f(13)$ и значения для этих точек следуют друг за другом, то предположим, что $T = 7 - 1 = 13 - 7 = 6$.

Верно, что:

$f(7 - T) = f(7) = f(7 + T)$

$f(1) = f(7) = f(13) = 1$ - верно

Функция $f(n)$ и последовательность $a_{n}$ равносильны по определению числовой последоватлеьности.

Докажем методом математической индукции, что число $T = 6$ является периодом функции $f(n)$, то есть

$\boxed{f(n - T) = f(n) = f(n + T)}$ при $n \geq 7$

$n = 7;$

$f(7 - T) = f(7) = f(7 + T)$

$f(1) = f(7) = f(13) = 1$ - верно

$n = k;$

$\boxed{f(k - T) = f(k) = f(k + T)}$ - пусть верно

Необходимо доказать:

$n = k + 1$

$f(k + 1 - T) = f(k) = f(k + 1 + T)$

-----------------

.............................

--------------------

Таким образом, так как $T = 6$ период последовательности, то

$\boldsymbol{ a_{101}} = a_{101 - 6 \cdot[101 : 6]} = a_{101 - 96} = a_{5} = \boldsymbol{ 0,5}$.