Question

Решите пожалуйста даю 100 баллов

Фото прилагается
Желательно подробно,но не обязательно

Answer 1

Объяснение:

$\int\limits^{\frac{\pi }{4} }_0 {\frac{2cosx+3sinx}{(2sinx-3cosx)^3} } \, dx .\\\int\limits {\frac{2cosx+3sinx}{(2sinx-3cosx)^3} } \, dx =\left | {{u=2sinx-3cosx} \atop {du=(2cosx+3sinx)dx}} \right.\left | \ dx=\frac{du}{2cosx+3sinx} =\int\limits {\frac{(2cosx+3sinx)*du}{(2cosx+3sinx)*u^3} } \, dx=$

$=\int\limits {\frac{du}{u^3} } \, =\int\limits {u^{-3}} \, du=-\frac{u^{-2}}{2} +C=-\frac{1}{2u^2}+C=-\frac{1}{2*(2sinx-3cosx)^2}+C.\\ -\frac{1}{2*(2sinx-3cosx)^2}\ |^{\frac{\pi }{4}} _0=- (\frac{1}{2*(2*\frac{\sqrt{2} }{2} -3*\frac{\sqrt{2} }{2})^2 }-\frac{1}{2*(2*sin0-3*cos0)^2})=\\ =-(\frac{1}{2*(\sqrt{2}-1,5*\sqrt{2})^2 } -\frac{1}{2*(0-3)^2})=-(\frac{1}{2*(0,5*\sqrt{2})^2 }-\frac{1}{18})=-(\frac{1}{2*0,5}-\frac{1}{18} )=\\=-(1-\frac{1}{18})= -\frac{17}{18}.$

Answer 2

Ответ:

Замена переменных в определённом интеграле.

$\displaystyle \int\limits_0^{\pi /4}\, \dfrac{2cosx+3sinx}{(2sinx-3cosx)^3}\, dx=\Big[\ t=2sinx-3cosx\ ,\ dt=(2sinx-3cosx)'\, dx=\\\\\\=(2cosx+3sinx)\, dx\ ,\ t_1=2sin0-3cos0=-3\ ,\\\\t_2=2sin\dfrac{\pi}{4}-3cos\dfrac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}\Big]=\int\limits_{-3}^{-\sqrt2/2}\dfrac{dt}{t^3}=\dfrac{t^{-2}}{-2}\Big|_{-3}^{-\sqrt2/2}=-\dfrac{1}{2t^2} \, \Big|_{-3}^{-\sqrt2/2}=$

$=-\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{(-\frac{\sqrt2}{2})^2}-\dfrac{1}{9}\Big)=-\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{9}\Big)=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{18-1}{9}=-\dfrac{17}{18}$