Question

Основанием треуголбной пирамиды PABC является равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B и катетами по 4 см.Боковое ребро PB перпендекулярно плоскости основания пирамиды.Найдите угол,образованный высотой PH боковой грани APC с плоскостью треугольника ABC,если PH=4 см​

Answer 1

Ответ:

∠(PH,ABC) = 45°

Объяснение:

Дано: PABC - треугольная пирамида, ∠ABC = 90°, AB = BC = 4 см,

PB ⊥ ABC, PH ⊥ AC, PH = 4 см

Найти: ∠(PH,ABC) - ?

Решение:

Проведем отрезок BH.

По определению прямая перпендикулярная к плоскости перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, то так как по условию PB ⊥ ABC и BH ⊂ ABC, то PB ⊥ BH, следовательно треугольник ΔPBH - прямоугольный.

По теореме о трех перпендикулярах BH ⊥ AC, так как BP ⊥ HB,

PH ⊥ AC и отрезок BH - проекция отрезка PH на плоскость ABC в прямоугольном треугольнике ΔPBH.

Так как BH ⊥ AC, то BH - высота в треугольнике ΔABC.

Так как по условию треугольник ΔABC - прямоугольный, то по формуле площади прямоугольного треугольника:

$S_{зABC} = \dfrac{AB \cdot BC}{2} = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 4 \cdot 2 = 8$ см².

По теореме Пифагора для треугольника ΔABC:

$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{2 \cdot 4^{2}} = \sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

По формуле площади треугольника:

$S_{зABC} = \dfrac{AC \cdot BH}{2} \Longrightarrow BH = \dfrac{2S_{зABC} }{AC} = \dfrac{2 \cdot 8}{4\sqrt{2 }} = \dfrac{4}{\sqrt{2} }$ см.

По определению угол между прямой и плоскость есть угол между прямой и её проекцией на эту плоскость, тогда так как отрезок

BH - проекция отрезка PH на плоскость ABC в прямоугольном треугольнике ΔPBH, то ∠(PH,ABC) = ∠(PH, BH) = ∠PHB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔPBH.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos \angle PHB =\dfrac{BH}{PH} = \dfrac{\dfrac{4}{\sqrt{2} } }{\dfrac{4}{1}} = \dfrac{4}{4\sqrt{2} } = \dfrac{1}{\sqrt{2} }$.

$\angle PHB = \arccos (\cos \angle PHB ) = \arccos \bigg ( \dfrac{1}{\sqrt{2} } \bigg) = 45^{\circ}$.

∠(PH,ABC) = 45°.