Question

расстояние от центра основания конуса до образующей равно 3 см а угол между высотой и образующей конуса равен 30 градусов . найти высоту конуса и площадь боковой поверхности конуса

Answer 1

Ответ:

Высота конуса 6см. Площадь боковой поверхности  24π см².

Объяснение:

Рассмотрим конус .

Δ АВС - осевое сечение конуса. ВО - высота конуса.

ОК⊥  ВС, так ОК - расстояние от центра основания конуса до образующей ВС.

Δ ОКВ - прямоугольный , ∠ ОВК =30 °. По свойству катета, лежащего напротив угла в 30 °, гипотенуза ОВ  в 2 раза больше катета ОК.

Значит,

$OB= 2\cdot 3 =6$ cм.

Высота конуса ОВ= 6 см .

Найдем ВК по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

$BK^{2} =BO^{2} -OK^{2} ;\\BK= \sqrt{BO^{2} -OK^{2} } ;\\BK= \sqrt{6^{2} -3^{2} } =\sqrt{36-9} =\sqrt{27} =\sqrt{9\cdot3} =3\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе есть среднее геометрическое между отрезками, на которые делится гипотенуза основанием высоты .

Значит,

$OK= \sqrt{BK\cdot KC } ;\\3=\sqrt{3\sqrt{3}\cdot KC } ;\\9=3\sqrt{3}\cdot KC;\\KC= \dfrac{9}{3\sqrt{3} } =\dfrac{3}{\sqrt{3} } =\sqrt{3}$  см.

Тогда гипотенуза, которая является образующей будет равна

$BC= BK+KC;\\BC =3\sqrt{3} +\sqrt{3} =4\sqrt{3}$ см.

Образующая $l=4\sqrt{3}$ см

В Δ ОКС  - прямоугольном найдем ОС  по теореме Пифагора

ОС - радиус основания конуса .

$OC=R ;\\OC= \sqrt{OK^{2} +KC^{2} } ;\\OC= \sqrt{3^{2} +(\sqrt{3})^{2} } =\sqrt{9+3} =\sqrt{12} =\sqrt{4\cdot3} =2\sqrt{3}$

$R=2\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле

$S=\pi Rl,$ где  

R- радиус основания конуса

$l-$ образующая конуса.

$S= \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} =\pi \cdot8\cdot 3=24\pi$  см².

Можно конечно найти радиус и образующую и проще. После найденной высоты ВО= 6 см

Рассмотрим Δ ВОС прямоугольный.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется  отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

$tg30^{0} =\dfrac{OC}{OB } ;\\\\\dfrac{1}{\sqrt{3} } =\dfrac{OC}{6 } ;\\\\OC= \dfrac{1\cdot6}{\sqrt{3} } =\dfrac{6}{\sqrt{3} } =\dfrac{6\sqrt{3} }{3} =2\sqrt{3}$

Значит, радиус основания конуса равен 2√3 см.

Найдем образующую конуса по теореме Пифагора

$BC^{2} =BO^{2} +OC^{2} ;\\ BC =\sqrt{BO^{2} +OC^{2}} ;\\BC= \sqrt{6^{2} +(2\sqrt{3} )^{2} } =\sqrt{36+12} =\sqrt{48} =\sqrt{16\cdot3} =4\sqrt{3}$

Образующая конуса равна 4√3 см.