Question

Демо задание 1-3
Номер 4

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x(x-2)}{2x+1}\ \ ,\qquad \qquad \Big(\frac{u}{v}\Big)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\\\\\f'(x)=\frac{(x^2-2x)'(2x+1)-(x^2-2x)(2x+1)'}{(2x+1)^2}=\frac{(2x-2)(2x+1)-2\, (x^2-2x)}{(2x+1)^2}=\\\\\\=\frac{4x^2-2x-2-2x^2+4x}{(2x+1)^2}=\frac{2x^2+2x-2}{(2x+1)^2}=\frac{2\, (x^2+x-1)}{(2x+1)^2}$

b)  Вертикальная асимптота х=а, если  $\lim\limits _{x \to a\pm 0}\, f(x)=\infty$  .

Проверим точку а= -0,5 , так как при х= -0,5 функция не существует, знаменатель дроби обращается в ноль .

$\lim\limits _{x \to -0,5-0}\, f(x)=\lim\limits _{x \to -0,5-0}\, \dfrac{x^2-2x}{2x+1}=\Big[\ \dfrac{(-0,5)^2+2\cdot 0,5}{2\cdot (-0,5-0)+1}=\dfrac{1,25}{-0}\ \Big]=-\infty$

$\lim\limits _{x \to -0,5+0}\, f(x)=\lim\limits _{x \to -0,5+0}\, \dfrac{x^2-2x}{2x+1}=\Big[\ \dfrac{(-0,5)^2+2\cdot 0,5}{2\cdot (-0,5+0)+1}=\dfrac{1,25}{+0}\ \Big]=+\infty$

Вертикальная асимптота  х= -0,5  .

c)  Наклонная асимптота  y=kx+b .

$k=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{x^2-2x}{x\, (2x+1)}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{x^2-2x}{2x^2+x}=\dfrac{1}{2}\\\\\\b=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, (f(x)-kx)=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \Big(\dfrac{x^2-2x}{2x+1}-\dfrac{x}{2}\Big)=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{2x^2-4x-2x^2-x}{2(2x+1)}=$

$=\lim\limits _{x \to \pm \infty}\, \dfrac{-5x}{4x+2}=-\dfrac{5}{4}$

Уравнение наклонной асимптоты    $y=\dfrac{1}{2}\, x-\dfrac{5}{4}$   или    $y=0,5x-1,25$  .

  Горизонтальной асимптоты нет .