Предмет: Алгебра, автор: ijajjo

Можно решение с подробным объяснением?

5sin^2x+√3sinx cosx + 6cos^2x=5

Ответы

Автор ответа: Doppikcha
0

Обобщим уравнение, решив общий случай. Дано уравнение вида

a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d

Заметим, что за знаком равно коэффициент равен 1, следовательно, применим основное тригонометрическое тождество

a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d\sin^2x+d\cos^2x

Приведём подобные

(a-d)\sin^2x+b\sin x\cos x+(c-d)\cos^2x=0

Заметим, что \cos x=0 дает решение тогда и только тогда, когда a-d=0, и в этом случае мы имеем

\cos x(b\sin x+(c-d)\cos x)=0

Если a-d\neq 0, то поделим всё на \cos^2 x :

(a-d)\mathrm{tg}^2x+b\mathrm{tg}+c-d=0

Что является квадратным уравнением!

Распространяя на наш случай, мы можем заметить, что всё сокращается и сводится к вынесению общего множителя

5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x=5\sin^2 x+5\cos^2 x\\\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2x =0\Rightarrow \cos x\left ( \sqrt{3}\sin x+\cos x \right )=0\\\cos x\left ( \sqrt{3}\mathrm{tg}+1 \right )=0\Rightarrow x=\left \{ \frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{5\pi}{6}+\pi k \right \}, \; k\in \mathbb{Z}

Похожие вопросы
Предмет: Русский язык, автор: dimyle102
Предмет: География, автор: erop21