Question

В основании пирамиды TABC лежит правильный треугольник ABC со стороной, равной 4. Высота пирамиды совпадает с ребром TA. Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра АС, середину ребра TB и параллельно медиане TD боковой грани TAB, если расстояние от точки D до секущей плоскости равно 3/5. С рисункомя пожалуйста

Answer 1

Площадь ортогональной проекции многоугольника равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

1) построим сечение (KLMN)

2) найдем площадь проекции сечения (DEMN) на основание

3) найдем угол (∠DPH) между плоскостью сечения и основанием

S(KLMN) = S(DEMN)/cos(DPH)

1) Пусть K - середина TB, M - середина AC

KN||TD => KN - средняя линия в TBA => N - середина BD

прямая KN пересекает прямую TA в точке F

AD/DN =AT/TF =2/1 (т Фалеса)

AM/MC *CL/LT *TF/FA =1 (т Менелая) => TL/LC =1/3

KLMN - сечение

2) K проецируется в D (середина AB)

L проецируется в E, AE/EC =TL/LC =1/3

S(DEMN) =S(NAM)-S(DAE)

Площади треугольников с равным углом относятся как произведения сторон.

S(NAM)/S(BAC) =3*2/4*4 =3/8

S(DAE)/S(BAC) =2*1/4*4 =1/8

S(BAC) =√3/4 *4^2 =4√3

S(DEMN) =(3/8 -1/8) 4√3 =√3

3) Опустим перпендикуляр DH на плоскость сечения, DH=3/5

DP⊥NM, DH⊥(KLMN) => HP⊥NM (т о трех перпендикулярах)

Угол между плоскостями - угол между перпендикулярами к общей прямой. ∠DPH - угол между плоскостью сечения и основанием.

MQ=√3 (△AMQ, т Пифагора)

tgN =MQ/NQ =√3/2

sinN =1/√(1+ctgN^2) =1/√(1 +4/3) =√(3/7)

DP =DN sinN =√(3/7)

sin(DPN) =DH/DP =3/5 :√(3/7) =√21/5

cos(DPN) =√(1-sin(DPN)^2) =√(1 -21/25) =2/5

S(KLMN) =S(DEMN)/cos(DPH) =5√3/2