Question

Для проведения ремонта бригадой из 10 человек надо 2 человека отправить на первый этаж 5 человек на второй и остальные на улице. Сколько разных групп можно составить?

Answer 1

Ответ:

Можно составить 2520 разных групп.

Объяснение:

Для проведения ремонта бригадой из 10 человек надо 2 человека отправить на первый этаж, 5 человек на второй и остальные на улице. Определить, сколько разных групп можно составить.

При выборе людей для проведения ремонта важен только состав, роли работников в выбранной группе не отличаются.

Здесь имеем сочетания без повторений.

• Число сочетаний без повторений из n элементов по k - это количество способов, которыми можно выбрать k элементов из n без учета порядка.
  $\displaystyle C^{k} _{n} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

1) Выбрать 2 человек из 10 можно следующим количеством способов.

$\displaystyle C^{2} _{10} = \frac{10!}{2! (10-2)!} = \frac{10!}{2! 8!}= \frac{9 \cdot 10}{1 \cdot2} =5 \cdot 9 = 45.$

Выбрать 2 человек из 10 можно 45 способами.

2) После того, как 2 человека выбраны, остались в бригаде 8 человек.

Теперь нужно выбрать 5 человек из 8.

$\displaystyle C^{5} _{8} = \frac{8!}{5! (8-5)!} = \frac{8!}{5! 3!}= \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot2 \cdot 3} =7 \cdot 8 = 56.$

Выбрать 5 человек из 8 можно 56 способами.

3) После выбора 2 и 5 человек из 10, остались 3 человека на улице.
Эта группа выбрана однозначно.

$\displaystyle C^{3} _{3} = \frac{3!}{3! (3-3)!} = \frac{3!}{3! 0!}= 1.$

• Закон умножения в комбинаторике: число способов в независимых наборах умножается.

4) Всего способов выбрать указанные группы из членов бригады:

С²₁₀ · С⁵₈ · С₃³ = 45 · 56 · 1 = 2520.

Можно составить 2520 разных групп.