Question

Укажите все значения параметра k при которых прямая у=kx-2 имеет единственную общую точку с параболой у=x2+x+7

Answer 1

Чтобы найти точки касания, приравняем правые части уравнений.

$x^2+x+7=kx-2\\x^2+x-kx+7+2=0\\x^2+(1-k)x+9=0$

Квадратное уравнение имеет один корень при дискриминанте, равном нулю. Соответственно, если корень один, то и точка касания тоже одна.

$D=b^2-4ac=(1-k)^2-4*1*9=(k-1)^2-36=(k-1)^2-6^2=\\=(k-1-6)(k-1+6)=(k-7)(k+5)=0\Rightarrow k=-5;7$

Ответ: -5; 7