СРОЧНО!!!! 20 БАЛЛОВ
Треугольник ABC расположен в пространстве так, что расстояние от A до плоскости π равно 2, от B до плоскости π равно 11 и от C до плоскости π равно 5. Чему равно расстояние от точки пересечения медиан треугольника ABC до плоскости?
Ответы
Ответ:
МД₁=6
Объяснение:
Искомым расстоянием от точки пересечения медиан М, до плоскости π является отрезок МД₁.
Обозначим высоты от стороны АС к плоскости π: В₁К, АЕ, СЕ₁. Соединим точки Е и Е₁. Получим трапецию ЕАСЕ₁. В₁К || АЕ || СЕ, так как они перпендикулярны плоскости π. По теореме Фалеса если параллельные прямые, пересекая стороны угла отсекают равные отрезки на одной его стороне, то они отсекают равные отрезки и на второй стороне угла, поэтому если АВ₁=В₁С, то ЕК=КЕ₁. → В₁К – средняя линия трапеции ЕАСЕ₁.
В₁К=(ЕА+Е₁С)÷2=(2+5)÷2=7÷2=3,5
Проведём перпендикуляры В₁Н и КК₁ к стороне ВК₁, получили трапецию В₁КК₁В.
В₁Н делит ВК₁, что К₁Н=В₁К=3,5, тогда ВН=11–3,5=7,5.
Рассмотрим ∆ВВ₁Н, он прямоугольный, ВН и В₁Н – катеты, ВВ₁ – гипотенуза. Медианы треугольника, пересекаясь, точкой пересечения делятся на отрезки в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника, поэтому ВМ : МВ₁=2 : 1 и по теореме Фалеса ДН : В₁Д=2 : 1. МД || ВН, и МД отсекает от ∆ВВ₁Н подобный ему ∆МВ₁Д. Стороны ∆ВВ₁Н имеют 3 части (2+1=3), а стороны ∆МВ₁Д – одну часть. Пусть МД=х, запишем пропорцию:
МД : ВН=1 : 3
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:
МД•3=ВН•1
3х=7,5•1
3х=7,5
х=7,5÷3
х=2,5
ДД₁=В₁К=НК₁=3,5
МД₁=МД+ДД₁=2,5+3,5=6
