При якому значенні а сума квадратів коренів рівняння x^2+ax+a-2=0 буде найменшою
Ответы
пусть корни этого уравнения х₁ и х₂, сумму квадратов можем представить как х₁² + х₂²=( х₁² + х₂²)+2х₁*х₂-2х₁*х₂= =(х₁+х₂)²-2х₁*х₂, (****)
по Виету х₁+х₂=-а ,т.е. сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. а их произведение равно
х₁*х₂=а-2 - свободному члену с тем же знаком. подставим сумму и произведение в (****), получим х₁² + х₂²=(х₁+х₂)²-2х₁*х₂=
а²-2*(а-2)=а²-2а+4=(а-1)²+3, выделили полный квадрат.
это квадратичная функция, график которой - парабола, ветви ее направлены вверх, и вершина которой
имеет абсциссу, равную -b/2a=2/2=1; ордината равна 3, в точке а=1 у функции будет наименьшее значение, т.к. ниже вершины парабола не опускается, т.к. ветви направлены вверх, и равно это наименьшее значение трем.
Впрочем, без графика тоже понятно, что наименьшее значение квадрата разности достигается, когда ( а-1)²=0, т.к. все остальные значения будут положительными. это достигается при а=1, а равно это значение трем.
Ответ при а=1