Question

#7
Найдите первую цифру наименьшего числа большего 1, являющегося полным квадратом, где число натуральных делителей полный квадрат.
а)3; б)4; в)5; г)2​

Answer 1

Рассмотрим разложение числа $n$ полного квадрата на простые: $n = p_{1}^{2\alpha_{1}}\cdot\ldots\cdot p_{k}^{2\alpha_{k}}$. Число делителей такого числа равно $(2\alpha_{1}+1)\cdot\ldots \cdot(2\alpha_{k}+1)$ и является полным квадратом. Это число нечетно, а потому хотя бы $9$. Значит, можно взять $\alpha_{1}=\alpha_{2}=1$, что дает число, не меньшее $2^{2}\cdot 3^2 = 36$. Если простых три, получаем большие числа, а если одно, то  $\alpha_{1}\geq 4$, а соответствующее число $2^{8}=256>36$.

Значит, первая цифра $3$.