Question

помогите решить пределы)
без правила лопиталя!!!
1.
$lim \frac{ \sqrt{1 - cos ({x}^{2} )} }{ 1 - cosx}$
x->0
2.
$lim \frac{sin(x - \frac{\pi}{3} )}{1 - 2cosx}$
х->pi/3​

Answer 1

Ответ:

1. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Пошаговое объяснение:

1. $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{1-\cos{x^2}}}{1-\cos{x}}=\lim\limits_{x\to 0} \sqrt{\dfrac{1-\cos{x^2}}{(1-\cos{x})^2}}$

Поскольку функция квадратного корня непрерывна, её можно вынести за знак предела.

$\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos{x^2}}{(1-\cos{x})^2}}$

Поскольку аргументы косинусов стремятся к нулю, заменим функции на эквивалентные ($1-\cos{x}\sim\dfrac{x^2}{2}$):

$\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{(x^2)^2}{2}}{\left(\dfrac{x^2}{2}\right)^2}}=\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{2}}{\dfrac{x^4}{4}}}=\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. Пусть $y=x-\dfrac{\pi}{3}$. Тогда $x=y+\dfrac{\pi}{3}$, а при $x\to\dfrac{\pi}{3}\ y\to 0$. Тогда, выполнив замену, получаем:

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin{\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}}{1-2\cos{x}}=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{\sin{y}}{1-2\cos{\left(y+\dfrac{\pi}{3}\right)}}=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{\sin{y}}{1-2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cos{y}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{y}\right)}=\\=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{\sin{y}}{1-\cos{y}+\sqrt{3}\sin{y}}$

Поскольку аргумент синуса и косинуса стремится к нулю, заменим функции на эквивалентные ($\sin{y}\sim y,1-\cos{y}\sim \dfrac{y^2}{2}$):

$\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{y}{\dfrac{y^2}{2}+\sqrt{3}y}=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{2}{y+2\sqrt{3}}=\dfrac{2}{0+2\sqrt{3}}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$