Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА





Киносъемка вентилятора с тремя лопастями, что вращался, выполнена со скоростью 24 кадра в секунду. На киноэкранные лопасти вентилятора кажутся неподвижными, при этом видно 6 лопастей. Какой была частота n вращения лопастей? Что наблюдалось бы на экране, если бы вращение лопастей совсем немного замедлилось?​

Answer 1

Раз видно $6$ лопастей, то за время между двумя кадрами винт проворачивается ровно на $60^{\circ}$ (так чтоб лопасть заняла положение между двумя другими). В итоге на нечетных кадрах будет одно положение винта, а на четных -- другое. При этом на экране будет наблюдаться шесть лопастей.

Итак, $n = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{\Delta \varphi}{2\pi \tau} = \dfrac{\pi/3}{2\pi\cdot (1/24)} = 4$. Если вращение лопастей замедлить незначительно (на некоторую величину $\delta n \ll 1$), то $n'=n-\delta n = \dfrac{\omega'}{2\pi} = \dfrac{\Delta \varphi'}{2\pi \tau} \Leftrightarrow \Delta \varphi ' = 2\pi\tau n - 2\pi \tau\delta n = \pi/3 - 2\pi \tau\delta n$. Соответственно $2\pi k = \pi N/3 - 2\pi N \tau\delta n \Leftrightarrow N = \dfrac{k}{1/6 - \tau \delta n} = \dfrac{k}{1/6-\delta n/24}$. Если $\delta n$ иррационально, то ни при каком целом $k$ величина справа нецелая, а потому на экране будет просто непрерывный <<диск>>. Если рационально, но мало, то $\delta n = \dfrac{a}{b}$ и $b\gg 1$. Потому $N = \dfrac{6k}{1-\dfrac{a}{4b}}\approx 6k(1+a/(4b)) = 6k+\dfrac{3a}{2b}k$, следовательно, $k$ достаточно велико (чтобы $b | k$), а следовательно, только через очень большое число поворотов $N$ кадры совместятся, а значит, за это время на экране успеют расположиться очень большое количество лопастей.