Question

Вычислите
$\sqrt{2022-\sqrt{2023\cdot2021} } +\sqrt{2020-\sqrt{2021\cdot2019} } +\\\\+\sqrt{2018-\sqrt{2019\cdot2017} }+...+\sqrt{2-\sqrt{3\cdot1} }$
подробно

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Попробуем доказать, что для четного натурального $n$:

$\sqrt{2-\sqrt{3\cdot1}}+...+\sqrt{2018-\sqrt{2019\cdot2017}}+...+\sqrt{n-\sqrt{(n+1)\cdot(n-1)}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{2}}$

Докажем базу индукции для $n=2$:

$\sqrt{2-\sqrt{3\cdot1}}=\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$

Докажем переход.

Предположим, что для $n=k$ выполнено:

$\sqrt{2-\sqrt{3\cdot1}}+...+\sqrt{2018-\sqrt{2019\cdot2017}}+...+\sqrt{k-\sqrt{(k+1)\cdot(k-1)}}=\dfrac{\sqrt{k+1}-1}{\sqrt{2}}$

Тогда для $n=k+2$, согласно предположению:

$\sqrt{2-\sqrt{3\cdot1}}+...+\sqrt{k-\sqrt{(k+1)\cdot(k-1)}}+\sqrt{k+2-\sqrt{(k+3)\cdot (k+1)}}=\dfrac{\sqrt{k+1}-1}{\sqrt{2}}+\sqrt{k+2-\sqrt{(k+3)\cdot (k+1)}}=$

$=\dfrac{\sqrt{k+1}-1}{\sqrt{2}}+\sqrt{\dfrac{(k+3)-2\sqrt{(k+3)(k+1)}+(k+1)}{2}}=\dfrac{\sqrt{k+1}-1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{k+3}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{2}}=\\=\dfrac{\sqrt{(k+2)+1}-1}{\sqrt{2}}$Значит по принципу математической индукции доказываемое равенство верно для всякого четного натурального $n$.

Ответим теперь на вопрос задачи:

Искомая сумма равна $\dfrac{\sqrt{2022+1}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{17\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$.

Задание выполнено!