Question

Помогите пожалуйста, решить ​

Answer 1

Ответ:

Применяем формулы сокращённого умножения . А также интегрирование по частям .

$\displaystyle \int (e^{x}-x)^2\, dx=\int (e^{2x}-2xe^{x}+x^2)\, dx=\int e^{2x}\, dx-2\int xe^{x}\, dx+\int x^2\, dx=\\\\\\=\frac{1}{2}\, e^{2x}+\frac{x^3}{3}-2\int \underbrace{x}_{u}\cdot \underbrace {e^{x}\, dx}_{dv}=\Big[\ du=dx\ ,\ v=e^{x}\ ,\ \int u\, dv=uv-\int v\, du\ \Big]=\\\\\\=\frac{e^{2x}}{2}+\frac{x^3}{3}-2\cdot \Big(x\, e^{x}-\int e^{x}\, dx\Big)=\frac{e^{2x}}{2}+\frac{x^3}{3}-2\cdot x\, e^{x}+2\cdot e^{x}+C$