Предмет: Алгебра, автор: Cherry2104

найти наименьшее значение выражения 2sin x - 7 cos​ x


Agguzzokk: там икслы или что
Agguzzokk: синус чего бл
Cherry2104: да

Ответы

Автор ответа: Аноним
1

Решение задания прилагаю

Приложения:
Автор ответа: NNNLLL54
1

Ответ:

2sinx-7cosx=\sqrt{2^2+7^2}\cdot \Big(\dfrac{1}{\sqrt{2^2+7^2}}\cdot 2sinx-\dfrac{1}{\sqrt{2^2+7^2}}\cdot 7cosx\Big)=\\\\\\=\sqrt{53}\cdot \Big(\dfrac{2}{\sqrt{53}}\cdot sinx-\dfrac{7}{\sqrt{53}}\cdot cosx\Big)\ ;

Так как  \Big(\dfrac{2}{\sqrt{53}}\Big)^2+\Big(\dfrac{7}{\sqrt{53}}\Big)^2=\dfrac{4}{53}+\dfrac{49}{53}=\dfrac{53}{53}=1   и  sin^2\alpha +cos^2\alpha =1  , то

можно положить  \dfrac{2}{\sqrt{53}}=cos\alpha \ ,\ \ \dfrac{7}{\sqrt{53}}=sin\alpha  .  Ввели вспомогательный угол  альфа .

Тогда по формулам тригонометрии имеем:

\sqrt{53}\cdot \Big(\dfrac{2}{\sqrt{53}}\cdot sinx-\dfrac{7}{\sqrt{53}}\cdot cosx\Big)=\sqrt{53}\cdot \Big(cos\alpha \cdot sinx-sin\alpha \cdot cosx\Big)=\\\\=\sqrt{53}\cdot sin(x-\alpha )

Синус любого угла принимает значения от  -1  до  1 , то есть

-1\leq sin(x-\alpha )\leq 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ -\sqrt{53}\, \leq \sqrt{53}\, sin(x-\alpha )\, \leq \sqrt{53}\\\\-\sqrt{53}\, \leq 2sinx-7cosx\, \leq \sqrt{53}

Наименьшее значение заданного выражения равно   -\sqrt{53}   .

Похожие вопросы
Предмет: Английский язык, автор: annapashneva1
Предмет: Математика, автор: Аноним