Question

Вычислить производные, помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1.

$\displaystyle y=\frac{e^{\sqrt{x} }}{1+e^{2x}}$

Производная частного:

$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Производная сложной функции:

$\displaystyle y'=\frac{e^{\sqrt{x} }*(\sqrt{x} )'*(1+e^{2x})-e^{\sqrt{x} }*e^{2x}*(2x)'}{(1+e^{2x})^2} =\\\\=\frac{e^{\sqrt{x} }(\frac{1}{2\sqrt{x} }*(1+e^{2x})-2e^{2x})}{(1+e^{2x})^2} =\\\\\frac{e^{\sqrt{x} }(\frac{1+e^{2x}}{2\sqrt{x} }-2e^{2x} )}{(1+2^{2x})^2}$

2.

Производная функции, заданной параметрически:

$\displaystyle y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}$

Дано:

$\displaystyle \left \{ {{x=arcsin(t^2-1)} \atop {y=arccos\;2t}} \right.$

$\displaystyle x'_t=\frac{(t^2-1)'}{\sqrt{1-(t^2-1)^2} } =\frac{2t}{\sqrt{1-t^2+2t-1} }=\\\\=\frac{2t}{\sqrt{2t-t^2} }$

$\displaystyle y'_t=-\frac{(2t)'}{\sqrt{1-(2t)^2} } =-\frac{2}{\sqrt{1-4t^2} }$

$\displaystyle y'_x=-\frac{2*\sqrt{2t-t^2} }{\sqrt{1-4t^2} *2t} =-\frac{\sqrt{2t-t^2} }{t\sqrt{1-4t^2} }$

3.

$\displaystyle y=\frac{cos^2\;3x}{lg(9x-4)}$

Здесь производная частного.

$\displaystyle y'=\frac{2cos\;3x*(cos\;3x)'*lg(9x-4)-cos^2\;3x*\frac{(9x-4)'}{(9x-4)ln10} }{lg^2(9x-4)}=\\\\\frac{2cos\;3x*(-sin\;3x)*(3x)'*lg(9x-4)-\frac{cos^2\;3x*9}{(9x-4)ln10} }{lg^2(9x-4)} =\\\\=-\frac{2cos\;3x*sin\;3x*3*lg(9x-4)+\frac{9cos^23x}{(9x-4)ln10} }{lg^2(9x-4)}=\\\\=-\frac{3sin\;6x*lg(9x-4)+\frac{9cos^23x}{(9x-4)ln10} }{lg^2(9x-4)}$

Использовали формулы производных сложных функций: