Question

Найдите сумму всех положительных несократимых дробей вида n/77, не превосходящих 2

Answer 1

найдем вначале сумму всех таких дробей, без ограничений на сократимость...

так как по условию

$0 < \frac{n}{77} < 2$

то n€ { 1, 2,...153 }

и сумма всех таких дробей равна

$S_1 = \frac{1}{77} (1 + 2 + ... +153 ) = \\ = \frac{1}{77} \times ((1 + 153) + \\ + (2 + 152) + ...(76 + 78) + 77) = \\ = \frac{1}{77} (154 \times 76 + 77) = \\ = 2 \times 76 + 1 = \\ = 153$

теперь найдем сумму сократимых дробей.

Так как 77=7•11

Сократимыми в данном случае будут дроби, где n=7k, k€{ 1,2, ...21} и где n=11m, m€{1,2,..7, 8,...13}

сумма первой группы дробей равна

$S_7 = \frac{1}{77} (7 \times (1 + 2 + ...21)) = \\ = \frac{1}{11} \frac{(1 + 21) \times 22}{2} = 23$

второй группы

$S_{11}= \frac{1}{77} (11 \times (1 + 2 + ...13)) = 13$

Сумма всех несократимых дробей будет равна сумме всех дробей минус сумма сократимых дробей.

Кроме того, заметим, что сократимая дробь

77/77 попала в оба этих множества. Поэтому один раз мы ее добавим и искомая сумма будет равна:

$S=S_1-(S_7+S_{11})+ \frac{77}{77} = 153 - (23 + 13) + 1 = 118$